Lei de Biot-Savart
A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético <math>\mathbf{B}</math> gerado por uma corrente elétrica <math>\mathbf{I}</math> constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.[1]
Motivação histórica
Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.
A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.[2]
A equação
Distribuições unidimensionais
Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:
<math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'</math>
Nessa equação, <math>dl'</math> é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, <math>\mathbf{I}</math> é o vetor corrente elétrica e <math>\hat{\boldsymbol{\eta}}</math> é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento <math>dl'</math>, cuja posição é <math>\mathbf{r'}</math>, ao ponto de cálculo do campo <math>\mathbf{r}</math>:
<math>\hat{\boldsymbol{\eta}}=\frac{\eta}{|\hat{\boldsymbol{\eta}}|}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}</math>,
e a constante <math>\mu_{0}</math> é a chamada permeabilidade magnética do vácuo.
Distribuições bidimensionais
Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:
<math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{K}\mathbf{(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}da' </math>
Onde <math>\mathbf{K}\mathbf{(r')}</math> é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:
<math>\mathbf{K}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{dl_{\perp}}</math>
Distribuições tridimensionais
Para distribuições tridimensionais de corrente: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{J(r')}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}d\tau ' </math>
Onde <math>\mathbf{J}\mathbf{(r')}</math> é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:
<math>\mathbf{J}\mathbf{(r')} = \frac{d\mathbf{I}}{da_{\perp}}</math>
Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento <math>d\mathbf{l'}</math> deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área <math>d\mathbf{a'}</math> no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume <math>d\mathbf{\tau'}</math> no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.[3]
Aplicações
Campo de uma corrente retilínea num fio condutor
Podemos usar a Lei de Biot-Savart para achar o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade <math>I</math> passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto <math>P</math> a uma distância <math>R</math> do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial <math>d\mathbf{l}\times d\mathbf{\hat{r}}</math>, para <math>R</math> fixo, está contido em círculos de raio <math>R</math> em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por <math>\hat{\boldsymbol{\phi}}</math>. Trabalhando em termos do ângulo <math>\theta</math>: <math>dl'\sin\alpha = dl'\cos\theta</math>
Como <math>l'= R\tan\theta</math>: <math>dl'= \frac{R}{\cos^{2}\theta}d\theta</math>
E como <math>R=r\cos\theta</math>: <math>\frac{1}{r^{2}}=\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}</math>
Para um trecho de fio indo de <math>\theta_1</math> a <math>\theta_2</math>:
<math>\mathbf{B(r)}=\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\frac{\cos^{2}\theta}{R^{2}}\right)\left(\frac{R}{\cos^{2}\theta}\right)\cos\theta d\theta =\hat{\boldsymbol{\phi}}\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\cos\theta d\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})</math>
Se o fio for infinito, então <math>\theta_{1}=-\frac{\pi}{2}</math> e <math>\theta_{2}=\frac{\pi}{2}</math> e a expressão fica apenas:
<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\hat{\boldsymbol{\phi}}</math> [4]
Campo no centro de um polígono de n lados
De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: <math>\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi R }(\sin\theta_{2}-\sin\theta_{1})\mathbf{\hat{z}},</math>
já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: <math>\mathbf{B(\textrm{centro})}=\sqrt{2}\frac{\mu_{0}I}{\pi R}\mathbf{\hat{z}}</math>
onde <math>R</math> é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo <math>\theta_{1}=-\theta_{2}=-\frac{\pi}{n}</math>. Então obtemos: <math>\mathbf{B}=n\frac{\mu_{0}I}{2\pi R }\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \mathbf{\hat z}</math> [3]
Campo de uma espira circular no eixo
Consideremos uma espira circular de raio <math>R</math> percorrida por uma corrente estacionária de intensidade <math>I</math>. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância <math>z</math> do eixo. Lembrando que: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\int \frac{\mathbf{I}\times \mathbf{\hat{\boldsymbol{\eta}}}}{\eta^{2}}dl'</math>
No caso da espira circular: <math> \eta=\sqrt{z^{2}+R^{2}}</math>
Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: <math>\sin\alpha=\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}</math>
Logo: <math>\mathbf{B}(\text{eixo})=\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi }I\int\frac{ dl}{\eta^{2}}\sin\alpha =\mathbf{\hat z}\frac{\mu_{0}}{4\pi}I \frac{R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \int dl=\frac{\mu_{0}}{2}I\frac{R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}} \mathbf{\hat z}</math>[5]
Direção das linhas de campo magnético
Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:
- <math>d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\mathbf{l}\times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}</math>
que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor <math>d\mathbf{l}\times \hat{\mathbf{r}}</math>, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.[5]
Ver também
Referências
- ↑ Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2, 2ª ed., editora Bookman, 2008.
- ↑ Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910.
- ↑ 3,0 3,1 Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011.
- ↑ H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 3, 1ª ed., editora Blucher.
- ↑ 5,0 5,1 H. D. Young & R. A. Freedman, Física III: Eletromagnetismo, 12ª. ed., editora Pearson, São Paulo, Brasil, 2009.
