Equações de campo de Einstein
Em física, a equação de campo de Einstein ou a equação Einstein é uma equação na teoria da gravitação, chamada relatividade geral, que descreve como a matéria gera gravidade e, inversamente, como a gravidade afeta a matéria. A equação do campo de Einstein se reduz à lei de Newton da gravidade no limite não-relativista, isto é, à velocidades baixas e campos gravitacionais pouco intensos.
Na equação, a gravidade se dá em termos de um tensor métrico, uma quantidade que descreve as propriedades geométricas do espaço-tempo tetradimensional. A matéria é descrita por seu tensor de energia-momento, uma quantidade que contém a densidade e a pressão da matéria. Estes tensores são tensores simétricos 4 x 4, de modo que têm 10 componentes independentes. Dada a liberdade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem a 6. A força de acoplamento entre a matéria e a gravidade é determinada pela constante gravitacional universal.
Solução da equação de campo de Einstein
Uma solução da equação de campo de Einstein é certa métrica apropriada para a distribuição dada da massa e da pressão da matéria. Algumas soluções para uma situação física dada são com as que se seguem.
Distribuição de massa esférica simétrica e estática
A solução para o vazio ao redor de uma distribuição de massa esférica simétrica e estática é a métrica de Schwarzschild e métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a uma estrela e conduz à previsão de um horizonte de eventos além do qual não se pode observar. Prevê a possível existência de um buraco negro de massa dada <math>M</math> da qual não pode ser extraída nenhuma energia, no sentido clássico do termo (isto é, não é válido para o domínio da Mecânica Quântica - ver radiação de Hawking).
Massa de simetria axial em rotação
A solução para o espaço vazio ao redor de uma distribuição de massa de simetría axial em rotação é a métrica de Kerr. Se aplica a uma estrela que gire e conduz à previsão da existência possível de um buraco negro em rotação de massa dada <math>M</math> e momento angular <math>J</math>, do qual a energia rotacional pode ser extraída.
Universo isotrópico e homogêneo
A solução para um Universo isotrópico e homogêneo, totalmente com densidade constante e de uma pressão insignificante, é a Métrica de Friedmann-Robertson-Walker. Se aplica ao Universo em sua totalidade e conduz a diversos modelos de sua evolucão que predizem um Universo em expansão.
Forma matemática da equação do campo de Einstein
A equação do campo de Einstein descreve como o espaço-tempo se curva pela matéria e, reciprocamente, como a matéria é influenciada pela curvatura do espaço-tempo, ou digamos, como a curvatura dá lugar à gravidade.
A equação do campo se apresenta como se segue:
- <math>E_{ik} = 8 \pi {G \over c^4} T_{ik}</math>
onde o tensor <math>E_{ik} \ </math> é a curvatura de Einstein, uma equação diferencial de segunda ordem em termos do tensor métrico <math>g_{ik} \ </math>, e <math>T_{ik} \ </math> é o tensor de energia-momento. A constante de acoplamento se dá em termos de <math>\pi \ </math> é Pi, <math>c \ </math> é a velocidade da luz e <math>G \ </math> é a constante gravitacional.
O tensor da curvatura de Einstein se pode escrever como
- <math>E_{ik} = R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} </math>
onde além disso <math>R_{ik}\ </math> é o tensor de curvatura de Ricci, <math>R \ </math> é o escalar de curvatura de Ricci e <math>\Lambda \ </math> é a constante cosmológica.
A equação do campo portanto também pode apresentar-se como se segue:
- <math>R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = 8 \pi {G \over c^4} T_{ik}</math>
<math>g_{ik} \ </math> é um tensor simétrico 4 x 4, assim que tem 10 componentes independentes. Dada a libertade de escolha das quatro coordenadas do espaço-tempo, as equações independentes se reduzem em número a 6.
Estas equações são a base da formulação matemática da relatividade geral.
Interpretacão geométrica da Equação de Einstein
A Teoria da relatividade mostra que a massa dos corpos depende do observador, pois esta varia com sua velocidade aparente, tal como no conceito de simultaneidade, e portanto também o espaço que se observa (formado por todos os eventos simultâneos). Assim, a equação de Einstein pode enunciar-se também afirmando que para cada observador, a curvatura escalar <math>\kappa \ </math> do espaço é proporcional à densidade aparente <math>\rho \ </math> :
- <math>\kappa \ =16\cdot G\pi c^{-2}\rho \ </math>
onde c = 3 × 1010 [cm s-1] é a velocidade da luz e G = 6,67 × 10-8 [cm³ s-2 g-1] é a constante da gravitação universal. De acordo com o significado geométrico da curvatura escalar, esta igualdade afirma que em uma esfera de massa M e densidade constante, o excesso radial (a diferença entre o raio real e o raio que corresponderia na geometria euclidiana a uma esfera de igual área) é igual a
- <math>\Delta R = 3G\cdot c^{-2} M</math>
Por exemplo, no caso da Terra o excesso radial é de 0,15 cm e no caso do Sol é de uns 500 metros.
É assombroso que esta equação, que introduz mínimas correções nas fórmulas da geometria euclidiana, atinja quase todas as equações conhecidas da Física macroscópica. Com efeito, quando a velocidade da luz c tende ao infinito, dela se derivam a Lei newtoniana da Gravitação, a Equação de Poisson e, portanto, o caráter atrativo das forças gravitatocionais, as equações da mecânica dos fluidos (equação de continuidade e equações de Euler), as leis de conservação da massa-energia e do momento, o caráter euclidiano do espaço, etc.
Igualmente se derivam todas as leis de conservação relativísticas, e que a existência de campos gravitacionais e de massa só são possíveis quando o espaço tem dimensão maior que 2. Mais ainda, se se supõe que o espaço tem dimensão 4 (as três que vemos habitualmente mais uma pequeníssima dimensão circular extra, aproximadamente do tamanho do chamado comprimento de Planck ~ <math>10^{-33}</math> cm) da equação de Einstein se deduzem a teoria clássica do electromagnetismo: as equações de Maxwell e, portanto, a lei de Coulomb, a Conservação da carga elétrica e a lei de Lorentz.
Equações de Einstein-Maxwell
Se o tensor energia-momento <math>T_{\mu \nu}</math> é aquele de um campo eletromagnético, i.e. se o tensor momento-energia eletromagnético
- <math>T_{ab} = \, -\frac{1}{\mu_0} ( F_{a}{}^{s} F_{sb} + {1 \over 4} F_{st} F^{st} g_{ab} )</math>
é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas equações Einstein-Maxwell:
- <math>R_{ab} - {1 \over 2}R g_{ab} = \frac{8 \pi G}{c^4 \mu_0} (\, F_{a}{}^{s} F_{sb} + {1 \over 4} F_{st} F^{st} g_{ab}) \ </math>