Derivada
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No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função[1]. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por
<math>f'(a)</math> ou por <math>\frac{df}{dx}(a)</math>.
Definição formal
Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto <math>\mathbb{R}</math> dos números reais e seja f uma função de I em <math>\mathbb{R}</math> (função esta que é formalmente denotada por <math> f:I\rightarrow \mathbb{R}</math>) . Se o ponto <math>a\in I</math> (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite [2] e o mesmo for finito
- <math>f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h</math>, onde <math>h=x-a\leftrightarrow x=a+h</math>.
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.
| Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente. |
O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
- <math>\frac{f(x+h)-f(x)}h</math>.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que
- <math>(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a)</math>.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
Funções com valores em R<math>^n</math>
Se <math>I</math> for um intervalo de R com mais do que um ponto e se <math>f</math> for uma função de <math>I</math> em <math>\mathbb{R}^n</math>, para algum número natural <math>n</math>, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
- <math>\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array}</math> (ou seja: uma função que a cada x do domínio em <math>\mathbb{R}</math> responde com uma coordenada no contradomínio em <math>\mathbb{R}^n</math>. Esta coordenada é (cosx,senx)).
é derivável e
- <math>(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).</math>
De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Diferenciabilidade
Derivabilidade num ponto
- Seja <math>I</math> um intervalo de R com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math> e seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em R derivável em <math>a</math>. Então <math>f</math> é contínua em <math>a</math>. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
- Seja <math>I</math> um intervalo de R com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math> e sejam <math>f</math> e <math>g</math> funções de <math>I</math> em R deriváveis em <math>a</math>. Então as funções <math>f</math> ± <math>g</math>, <math>f.g</math> e (caso <math>g(a)</math> ≠ <math>0</math>) <math>f/g</math> também são deriváveis em <math>a</math> e:
- <math>(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)</math>
- <math>(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)</math>
- <math>(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}</math>
Em particular, se <math>c</math> ∈ R, então <math>(c.f)'=c.f'</math>. Resulta daqui e de se ter <math>(f+g)'=f'+g'</math> que a derivação é uma aplicação linear.
- Sejam <math>I</math> e <math>J</math> intervalos de R com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math>, seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em <math>J</math> derivável em <math>a</math> e seja seja <math>g</math> uma função de <math>J</math> em R derivável em <math>f(a)</math>. Então <math>g</math> o <math>f</math> é derivável em <math>a</math> e
- <math>(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)</math>.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.
- Seja <math>I</math> um intervalo de R com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math> e seja <math>f</math> uma função contínua de <math>I</math> em R derivável em <math>a</math> com derivada não nula. Então a função inversa <math>f^{-1}</math> é derivável em <math>f(a)</math> e
- <math>(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot</math>
Outra maneira de formular este resultado é: se <math>a</math> está na imagem de <math>f</math> e se <math>f</math> for derivável em <math>f^{-1}(a)</math> com derivada não nula, então
- <math>(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot</math>
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.
Derivabilidade em todo o domínio
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.
- Uma função derivável <math>f</math> de <math>I</math> em R é constante se e só se a derivada for igual a <math>0</math> em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
- Uma função derivável <math>f</math> de <math>I</math> em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a <math>0</math> em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.
Uma função cuja derivada seja sempre maior que <math>0</math> é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor <math>0</math> em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por <math>f(x)=x^3</math>. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.
- Se <math>f</math> for uma função derivável de <math>I</math> em R, sendo <math>I</math> um intervalo de R com mais do que um ponto, então <math>f'(I)</math> também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se <math>f</math> for uma função derivável de <math>[a,b]</math> em R e se <math>y</math> for um número real situado entre <math>f'(a)</math> e <math>f'(b)</math> (isto é, <math>f'(a)</math> ≤ <math>y</math> ≤ <math>f'(b)</math> ou <math>f'(a)</math> ≥ <math>y</math> ≥ <math>f'(b)</math>), então existe algum <math>c</math> ∈ <math>[a,b]</math> tal que <math>f'(c)=y</math>. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.
Funções continuamente deriváveis
Seja <math>I</math> um intervalo de R com mais do que um ponto e seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em R. Diz-se que <math>f</math> é continuamente derivável ou de classe <math>C^1</math> se <math>f</math> for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é
- <math>\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}</math>
pois o limite <math>\lim_{x\rightarrow0}f'(x)</math> não existe; em particular, f' não é contínua em <math>0</math>.
Derivadas de ordem superior
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:
- <math>\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)</math>
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:
- <math>\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}</math>
ou alternativamente,
- <math>f'(x),\quad f(x),\quad f'(x)</math>
ou ainda
- <math>f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)</math>
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe Ck.
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.
Exemplos
Se <math>c</math> ∈ R, a função <math>f</math> de R em R definida por <math>f(x)=c</math> é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a <math>0</math> em todos os pontos, pois, para cada <math>a</math> ∈ R:
- <math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de R em R por <math>\phi_a(x)=0</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
- <math>c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=0</math>.
A função <math>f</math> de R em R definida por <math>f(x)=x</math> é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a <math>1</math> em todos os pontos, pois, para cada <math>a</math> ∈ R:
- <math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de R em R por <math>\phi_a(x)=1</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
- <math>x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=1</math>.
A função <math>f</math> de R em R definida por <math>f(x)=x^2</math> é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto <math>a</math> ∈ R é igual a <math>2a</math>, pois:
- <math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de R em R por <math>\phi_a(x)=x+a</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
- <math>x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=2a</math>.
A função módulo de R em R não é derivável em <math>0</math> pois
- <math>(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}</math>
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em <math>a</math> é igual a <math>1</math> quando <math>a>0</math> e é igual a <math>-1</math> quando <math>a<0</math>.
Pontos críticos, estacionários ou singulares
Ver artigo principal: Ponto críticoPontos onde a derivada da função é igual a <math>0</math> chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos <math>x</math>. Estes pontos podem acontecer:
- onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
- onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
- em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função <math>f(x)=x^3</math>: no ponto <math>x=0</math> a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
- em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função <math>f(x) = x^3 sin(1/x)</math>
- em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.
Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.
Derivadas notáveis
Ver artigo principal: Tabela de derivadasAlguns exemplos de derivadas notáveis são as funções exponencial, cuja derivada é ela própria, ou seja,<math>\exp'=\exp</math>, e logarítmica, pois, para cada <math>x>0</math>, <math>\log'(x)=1/x</math>, onde <math>\log</math> é o logaritmo natural). Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade <math>\exp'=\exp</math> e da fórmula para a derivada da inversa que <math>(\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot</math> Reciprocamente, se se suposer que, para cada <math>x>0</math>, <math>\log'(x)=1/x</math>, então <math>\exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).</math>
Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas e das Funções trigonométricas inversas. Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.
Funções de uma variável complexa
Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Física
Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:
- Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
- Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
- <math>\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}</math>
Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.
Derivadas parciais
Ver artigo principal: Derivada parcialQuando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.
Derivadas fracionárias
Ver artigo principal: Derivada fracionáriaEmbora para a maioria dos profissionais de exatas obter uma derivada meiésima pareça procedimento metafísico, o estudo das derivadas fracionárias é tão antigo quanto a própria história do cálculo diferencial. A sugestão do cálculo fracionário surgiu da notação que veio a se tornar a mais empregada:
- <math>\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3},\quad ...</math>
Essa notação, denominada notação de Leibniz, foi criada por Leibniz em 1695. O assunto aparece explicitamente pela primeira vez em uma carta do Marquês de St. Mesme (L'Hospital) endereçada a Leibniz. Uma primeira aplicação do cálculo fracionário foi a solução do problema da Curva Tautocrônica, proposto por Niels Henrik Abel em 1820 e trabalhado por Dirichlet em 1840/1841. Existem aplicações das derivadas fracionárias no estudo de materiais com memória, fenômenos de difusão, epidemologia, vibrações mecânicas, etc.
Referências
- Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
- Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
- Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.
Ligações externas
- Rei da Derivada - Torneio inventado pelo prof. Ricardo Fragelli para ensino de derivadas
- Cálculo diferencial para funções trigonométricas (em português)
- tese de Engenharia Mecânica aplicando derivadas fracionárias (em português)
- Equações generalizadas de difusão (aplica derivadas parciais fracionárias) (em português)
Ver também
- Cálculo Diferencial e Integral
- Cálculo Fracionário
- Derivada simétrica, Diferenciação automática, Diferenciação numérica
- Diferintegral
- Classe de diferenciabilidade
- Linearização
- Tabela de derivadas
- Técnicas para diferenciação