Mecânica estatística
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A mecânica estatística (ou física estatística) é o ramo da física que estuda o comportamento de sistemas com elevado número de entidades constituintes a partir do comportamento destas entidades. Os constituintes podem ser átomos, moléculas, íons, entre outros. É uma teoria reducionista, em oposição à holística termodinâmica, que tem feição fenomenológica.
O estudo de tais sistemas em toda a sua complexidade é pouco prático ou mesmo inviável. Para contornar essa dificuldade o que se faz é esboçar um conjunto de simplificações e atribuir uma série de vínculos matemáticos, como a hipótese ergódica. Além disso, a mecânica estatística divide-se em áreas: mecânica estatística quântica, mecânica estatística de equilíbrio, mecânica estatística do não-equilíbrio, etc.
Histórico
Pode-se dizer que a mecânica estatística nasceu dos trabalhos de James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann. Dos estudos sobre as partículas constituintes dos gases (átomos e moléculas) e dos níveis de energia resultou uma grande quantidade de informações sobre as grandezas macroscópicas baseadas somente nas grandezas microscópicas médias.
Propriedades
A Propriedade central da mecânica estatística é a utilização de métodos estatísticos para a formulação de uma teoria cinética ,para átomos e moléculas, com o intuito de explicar as propriedades dos mesmos em um nível macroscópico da natureza.[1]
Um teorema chave é o valor médio da energia cinética das moléculas de um gás a uma certa temperatura T é
<math>\frac{1}{2}k_{B}T</math> (graus de liberdade).
A distribuição de Boltzmann é um resultado muito conhecido na física , que relaciona a Termodinâmica com a Mecânica Estatística.[1]
Exemplo
a distribuição de moléculas na atmosfera - desconsiderando ventos e que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Supondo que N é o número de moléculas total em um volume V de um gás ; a pressão P, então temos que:
PV = NRT , ou P = nkBT, onde n = N/V sendo o número de moléculas por unidade de volume. A temperatura sendo uma constante, a sua pressão será proporcional á sua densidade.
A variação de densidade em função da altitude se dá se tomarmos uma unidade de área com altura h sua força vertical será a força sobre a área sendo representado por P (pressão).
Um sistema em equilíbrio , suas forças nas moléculas deverão ser balanceadas ou nulas sendo h+dh a pressão feita na área inferior da camada que deve superar a pressão sobre a área de cima da camada assim balanceando com o peso.
sendo que mg é a força da gravidade em cada molécula, ndh é o número total das moléculas em cada área.[1] Com todas essas informações obtemos a equação diferencial que representa o equilíbrio
<math>P_{h} + dh - P_{h} = dP = -mgndh</math>
assim tendo P = nkBT e também T como constantes , eliminando-se P ficamos com a equação para n
<math>\frac{dn}{dh} = {mg}{k_{B}T}n</math>
Temos a variação da densidade em função da altura na atmosfera do exemplo.
<math>n = n_{0} e^{-mgh/k_{B}T}, \qquad n_{0} \; \text{densidade em relação à} \; h = 0</math>
a gráfico a seguir ilustra a densidade em relação à altura.
o numerador do expoente da equação anterior representa a energia potencial para cada átomo, sendo sua densidade em cada ponto igual a
<math>e^{-\in/k_{B}T}</math>
sendo que <math>\in</math> é a energia potencial de cada átomo.
Supondo que haja diversas forças em atuação nos átomos, exemplificando: sendo elas - as forças - carregadas e estejam sob forte influência de um campo elétrico ou haja atração entre elas.
Havendo um tipo apenas de molécula a força em uma porção de gás será a força sobre uma molécula <math>\times</math> o número de moléculas nessa mesma porção. Tendo que a força age na direção <math>x</math>. Semelhante em sua forma do problema da atmosfera, tomando dois planos paralelos no gás apenas separados por uma distância representada por dx, então a força sobre cada átomo vezes a densidade n vezes dx deve ser balanceada pela diferença de pressão, ou seja,
<math>Fndx = dP = k_{b}T\;dn</math>
sendo dW = -Fdx o trabalho feito sobre uma molécula ao transportá-la de x até x+dx, seu trabalho é igual á diferença de energia potencial (ao quadrado) >U assim,
<math>dU = -Fdx</math>
obtemos da equação de força anterior
<math>\frac{dn}{n} = - \frac{dU}{k_{B}T}</math>
resultando em
<math>n = n_{0} e^{-U/k_{B}T}</math>
<math>U</math> sendo a variação de energia do estado final e inicial.
Esta ultima expressão é tratada sendo a Lei de Boltzmann e pode ser interpretada assim: a probabilidade de encontrar moléculas em uma dada configuração espacial e tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura. Tal probabilidade diminui exponencialmente com a energia divida por kBT.
Conjuntos
Conjunto microcanônico
Um conjunto microcanônico é um conjunto de réplicas de microssistemas identicamente preparados. Cada réplica tem os mesmos possíveis valores de massa(m), volume(V) e energia (E), mas cada uma pode evoluir diferentemente através do espaço de configurações. No conjunto microcanônico não há troca de calor entre o sistema e o exterior e o número de partículas é fixo.
Conjunto canônico
Semelhantemente, um conjunto canônico é um conjunto de réplicas de um sistema, identicamente preparados, onde cada um tem valores definidos de massa(m), volume(V) e temperatura(T). No conjunto canônico o número de partículas é fixo, mas o sistema se encontra em um banho térmico, ou seja, há troca de calor com o ambiente.
Conjunto grão-canônico
No conjunto grão-canônico o sistema pode trocar calor e partículas, ou seja, o número de partículas pode variar.
Ver também
Bibliografia
- Salinas, Sílvio R. A. Física estatística. [S.l.]: Editora da Universidade de São Paulo, 1999. ISBN 8531403863
- Huang, Kerson. Statistical mechanics. [S.l.]: Wiley, John & Sons, 1990. ISBN 0471815187
- Reichl, L. E. A modern course in statistical physics. 2 ed. [S.l.]: Wiley, John & Sons, 1998. ISBN 0471595209