Calimero0000: uma edição

2013-05-03T11:15:50Z

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As '''unidades de Planck''' ou '''unidades naturais''' são um [[sistema de unidades]] proposto pela primeira vez em [[1899]] por [[Max Planck]]. O sistema mede várias das magnitudes fundamentais do universo: [[tempo]], [[longitude]], [[massa]], [[carga elétrica]] e [[temperatura]]. O sistema se define fazendo que estas cinco [[constantes físicas]] universais da tabela tomem o '''valor 1''' quando se expressem equações e cálculos em tal sistema.

O uso deste sistema de unidades traz consigo várias vantagens. A primeira e mais óbvia é que simplifica muito a estrutura das equações físicas porque elimina as constantes de proporcionalidade e faz com que os resultados das equações não dependam do valor das constantes.

Por outra parte, se podem comparar muito mais facilmente as magnitudes de distintas unidades. Por exemplo, dois [[próton]]s se repelem porque a repulsão eletromagnética é muito mais forte que a atração gravitacional entre eles. Isto pode ser comprovado ao ver que os prótons têm uma carga aproximadamente igual a uma unidade natural de carga, mas sua massa é muito menor que a unidade natural de massa.

Também permite evitar bastantes problemas de arredondamento, sobretudo em computação. Entretanto, têm o incoveniente de que ao usá-las é mais difícil perceber-se os erros dimensionais. São populares na área de investigação da [[relatividade geral]] e a [[gravidade quântica]].

As unidades de Planck podem ser chamadas (por ironia) pelos físicos como as "unidades de [[Deus]]". Isto elimina qualquer arbitrariedade [[antropocentrismo|antropocêntrica]] do sistema de unidades.

'''Tabela 1: Constantes físicas fundamentais'''

<center>

{| border="1" cellpadding="2"
|-----
! align="left" | Constante
! align="left" | Símbolo
! align="left" | Dimensão
|-----
| [[velocidade da luz]] no vácuo || <math>{ c } \ </math>
| [[Comprimento|L]] / [[Tempo|T]]
|-----
| [[Constante de gravitação]] || <math>{ G } \ </math>
| L3/T2[[Massa|M]]
|-----
| [[Constante de Planck|Constante reduzida de Planck]]
| <math>\hbar=\frac{h}{2 \pi}</math> onde <math>{h} \ </math> é a [[constante de Planck]]
| ML2/T
|-----
| [[Lei de Coulomb|Constante de força de Coulomb]]
| <math> \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}</math> onde <math>{ \epsilon_0 } \ </math> é a [[permissividade]] no vácuo
| M L3/ [[Carga elétrica|Q]]2 T2
|-----
| [[Constante de Boltzmann]] || <math>{ k } \ </math>
| M L3/T2[[Temperatura|K]]
|}
</center>

== Expressão de leis físicas em unidades de Planck ==
* [[Lei da gravitação universal]] de [[Isaac Newton|Newton]]

:<math> F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}</math>

::se converte em

::<math> F = \frac{m_1 m_2}{r^2}</math> utilizando unidades de Planck.

* [[Equação de Schrödinger]]

:<math>
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>

::se converte em

::<math>
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>

* A energia de uma partícula ou [[fóton]] com frequência radiante <math>{ \omega } \ </math> em sua função de onda

:<math>{ E = \hbar \omega} \ </math>

::se converte em

::<math>{ E = \omega } \ </math>

* A famosa [[Relatividade especial|equação de massa-energia]] de [[Albert Einstein|Einstein]]

: <math>{ E = m c^2} \ </math>

::se converte em

:: <math>{ E = m } \ </math>

:: (por exemplo, um corpo com uma massa de 5.000 unidades de Planck de massa tem uma energia intrínseca de 5.000 unidades de Planck de energia) e sua forma completa

: <math>{ E^2 = (m c^2)^2 + (p c)^2} \ </math>

::se converte em

:: <math>{ E^2 = m^2 + p^2} \ </math>

* [[Equações de campo de Einstein|Equação de campo de Einstein]] da [[relatividade geral]]

:<math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ </math>

::se converte em

::<math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ </math>

* A unidade de temperatura se define para que a media de energia [[constante de Boltzmann|térmica]] cinética por partícula por grau de libertade de movimento

:<math>{ E = \frac{1}{2} k T } \ </math>

::se converte em

::<math>{ E = \frac{1}{2} T } \ </math>

* [[Lei de Coulomb]]

:<math> F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}</math>

::se converte em

::<math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2}</math> .

* [[Equações de Maxwell]]

:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>

::se convertem respectivamente em

::<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho</math>

::<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

::<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>

::<math>\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>

::utilizando as unidades de Planck. (Os fatores <math> 4 \pi \ </math> podem ser eliminados se <math> \epsilon_0 \ </math> for normalizado, em vez da constante de força de Coulomb <math> 1/(4 \pi \epsilon_0) \ </math>.)

== Unidades de Planck básicas ==
Ao dar '''valor 1''' às cinco constantes fundamentais, as unidades de tempo, comprimento, massa, carga e temperatura se definem assim:

'''Tabela 2: Unidades de Planck básicas'''

<center>

{| border="1" cellspacing="2"
|-----
! align="left" | Nome
! align="left" | Dimensão
! align="left" | Expressão
! align="left" | Equivalência aproximada no [[SI|Sistema Internacional]]
|-----
| '''[[Tempo de Planck|Tempo Planck]]'''
| [[Tempo]] (T)
| <math>t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}</math>
| 5.39121 × 10−44 [[segundo|s]]
|-----
| '''[[Comprimento de Planck]]''' || [[Comprimento]] (L)
| <math> l_P = c \ t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}</math>
| 1.61624 × 10−35 [[metro|m]]
|-----
| '''[[Massa de Planck]]''' || [[Massa]] (M)
| <math>m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}</math>
| 2.17645 × 10−8 [[quilograma|kg]]
|-----
| '''[[Carga de Planck]]''' || [[Carga elétrica]] (Q)
| <math>q_P = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0}</math>
| 1.8755459 × 10−18 [[coulomb|C]]
|-----
| '''[[Temperatura de Planck]]'''
| [[Temperatura]] (ML2T−2/k)
| <math>T_P = \frac{m_P c^2} {k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5} {G k^2}}</math>
| 1.41679 × 1032 [[kelvin|K]]
|}
</center>

== Unidades de Planck derivadas ==
Como em outros [[sistema de unidades|sistemas de unidades]], as magnitudes físicas derivadas podem ser definidas baseando-se nas Unidades de Planck.

'''Tabela 3: Unidades de Planck derivadas '''

<center>

{| border="1" cellspacing="2"
|-----
! align="left" | Nome
! align="left" | Dimensão
! align="left" | Expressão
! align="left" | Equivalência aproximada no [[SI|Sistema Internacional]]
|-----
| '''[[Energia de Planck]]'''
| [[Energia]] (ML2/T2)
| <math>E_P = m_P c^2 = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}</math>
| 1.9561 × 109 [[Joule (unidade)|J]]
|-----
| '''[[Força de Planck]]''' || [[Força]] (ML/T2)
| <math>F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{c^4}{G}</math>
| 1.21027 × 1044 [[newton|N]]
|-----
| '''[[Potência de Planck]]'''
| [[Potência]] (ML2/T3)
| <math>P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{c^5}{G}</math>
| 3.62831 × 1052 [[Watt|W]]
|-----
| '''[[Densidade de Planck]]'''
| [[Densidade (física)|Densidade]] (M/L3)
| <math>\rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}</math>
| 5.15500 × 1096 [[Quilograma por metro cúbico|kg/m³]]
|-----
| '''[[Frequência angular de Planck]]'''
| [[Frequência]] (1/T)
| <math>\omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}</math>
| 1.85487 × 1043 [[Frequência angular|rad/s]]
|-----
| '''[[Pressão de Planck]]''' || [[Pressão]] (M/LT2)
| <math>p_P = \frac{F_P}{l_P^2} =\frac{c^7}{\hbar G^2}</math>
| 4.63309 × 10113 [[Pascal (unidade)|Pa]]
|-----
| '''[[Corrente elétrica de Planck]]'''
| [[Corrente elétrica]] (Q/T)
| <math>I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}}</math>
| 3.4789 × 1025 [[Ampere|A]]
|-----
| '''[[Tensão elétrica de Planck]]'''
| [[Tensão elétrica]] (ML2/T2Q)
| <math>V_P = \frac{E_P}{q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} }</math>
| 1.04295 × 1027 [[volt|V]]
|-----
| '''[[Resistência elétrica de Planck]]'''
| [[Resistência elétrica|Resistência]] (ML2/T Q2)
| <math>Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}</math>
| 2.99792458 × 10¹ [[Ohm|Ω]]
|}
</center>

== Unidades de Planck simplificam as equações principais da física ==
Ordinariamente, grandezas físicas que tem diferentes dimensões (tais como tempo e comprimento) não podem ser equiparadas, mesmo que sejam numericamente iguais (1 segundo não é o mesmo que 1 metro). Contudo, em física teórica este critério pode ser anulado de maneira a simplificar cálculos. O processo pelo qual isto é feito é chamado "[[adimensionalização]]". A tabela 4 mostra como unidades de Planck, pela escolha dos valores numéricos das cinco constantes fundamentais à unidade, simplificam muitas equações da física e fazem-nas [[adimensionalização|adimensionais]].

'''Tabela 4: Equações adimensionalizadas'''

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto; background-color: #ffffff"
!
! Forma usual
! Forma [[Adimensionalização|adimensionalizada]]
|- align="left"
| '''[[Gravidade|Lei de Newton de Gravitação Universal]]'''
| <math> F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2}</math>
| <math> F = - \frac{m_1 m_2}{r^2}</math>
|-
| '''[[Equação de Schrödinger]]'''
| <math>
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t)</math> <math> =
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>
| <math>
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t)</math> <math> =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
</math>
|-
| '''[[Constante de Planck|Relação de Planck]] relacionando a energia de [[Partícula elementar|partícula]] à [[frequência angular]] <math>{ \omega } \ </math> de sua [[função de onda]]'''
| <math>{ E = \hbar \omega } \ </math>
| <math>{ E = \omega } \ </math>
|-
| '''Equação [[massa]]/[[energia]] da [[relatividade restrita]] de [[Albert Einstein|Einstein]]'''
| <math>{ E = m c^2} \ </math>
| <math>{ E = m } \ </math>
|-
| '''[[Equações de campo de Einstein]] da [[relatividade geral]]'''
| <math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ </math>
| <math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ </math>
|-
| '''[[Energia térmica]] por partícula por [[Graus de liberdade (física)|grau de liberdade]]'''
| <math>{ E = \frac{1}{2} k T } \ </math>
| <math>{ E = \frac{1}{2} T } \ </math>
|-
| '''[[Lei de Coulomb]]'''
| <math> F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}</math>
| <math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2}</math>
|-
| '''[[Equações de Maxwell]]'''
| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho</math>
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ </math> 
<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> 
<math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ </math>
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ </math> 
<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> 
<math>\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>
|}

== Normalizações alternativas ==
Como já foi afirmado na introdução, unidade de Planck sãpo derivadas de "normalizar" os valores numéricos de certas constantes fundamentais a 1. Estas normalizações são nem as únicas possíveis, enm necessariamente as melhores. Além disso, a escolha de quais constantes normalizar não é evidente, e os valores das unidades de Planck são ensíveis a esta escolha.

O fator 4π, e múltiplos dele tais como 8π, são ubíquos em fórmulas em [[física teórica]] porque é a área da superfície da [[Esfera (geometria)|esfera]] unitária tridimensional. Por exemplo, [[Campo gravitacional|campos gravitacionais]] e [[Campo elétrico|elétricos]] produzidos por cargas pontuais têm simetria esférica.<ref name="Barrow">[[John D. Barrow]], 2002. ''The Constants of Nature; From Alpha to Omega - The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe''. Pantheon Books. ISBN 0-375-42221-8.</ref> (pgs 214-15) O 4π''r''2 que aparece no denominador da [[Lei de Coulomb]], por exemplo, reflete o fato que o [[Fluxo (física)|fluxo]] do campo elétrico distribui-se uniformemente sobre a superfície da esfera. Se o espaço tem mais dimensões, o fator correspondente a 4π deverá ser [[n-esfera|diferente]].

Em qualquer evento, uma escolha fundamental que tem de ser feita quando se construindo um sistema de unidades naturais é que, se for o adequado, os casos de 4''n''π aparecendo nas equações da física serão eliminados através da normalização.

* Escolhendo ''ε''0 = 1.

Planck normalizou a 1 a [[Constante de permissividade do vácuo|constante da força de Coulomb]] 1/(4π''ε''0) (tal como no [[sistema CGS de unidades]]). Isso define a [[Resistência elétrica de Planck|impedância de Planck]], ''Z''P como igual a ''Z''0/4π, onde ''Z''0 é a [[impedância do espaço livre|impedância característica do espaço livre]]. Normalizando a [[Constante de permissividade do vácuo|permissividade do espaço livre]] ''ε''0 a 1 não só faz ''Z''P igual a ''Z''0, mas também elimina 4π das [[equações de Maxwell]]. Por outro lado, a forma [[adimensionalização|adimensionalizada]] da lei de Coulomb irá agora conter um fator of 1/(4π).

* Escolhendo 4''n''π''G'' = 1.

Em 1899, a [[relatividade geral]] estava alguns anos no futuro, então a [[Lei da gravitação universal|lei da gravitação universal de Newton]] era ainda vista como fundamental, e não como uma aproximação conveniente para o tratamento de "pequenas" velocidades e distâncias. Por isso Planck normalizou a 1 a [[Constante gravitacional universal|constante gravitacional]] ''G'' na lei de Newton. Em teorias surgidas após 1899, ''G'' é quase sempre multiplicada por 4π ou múltiplos.

:* 4π''G'' aparece em:
:**[[Lei de Gauss para a gravidade]], Φ'''g''' = −4π''GM'';
:**[[Impedância característica]] da [[radiação gravitacional]] no espaço livre, ''Z''0 = 4π''G''/''c''.<ref>Raymond Y. Chiao; [http://arxiv.org/abs/0710.1378v4 arXiv:0710.1378v4 ''Generation and detection of gravitational waves at microwave frequencies by means of a superconducting two-body system''] - '''arXiv''' {{en}}</ref> O ''c'' no denominador decorre da predição da [[relatividade geral]] que a radiação gravitacional propaga-se a mesma [[velocidade da luz|velocidade das radiações eletromagnéticas]];
:**Equações [[Gravitomagnetismo|gravitoeletromagnéticas]] (GEM), que apoaim-se nos [[campo gravitacional|campos gravitacionais]] fracos ou [[Espaço de Minkowski|espaço-tempo razoavelmente plano]]. Estas equações têm a mesma forma das equações de Maxwell (e a equação da [[força de Lorentz]]) do eletromagnetismo, com [[Massa volúmica|densidade de massa]] substituindo a [[densidade de carga]], e com 1/(4π''G'') substituindo ε0.

:*8π''G'' aparece nas [[equações de campo de Einstein]], na [[ação de Einstein-Hilbert]], nas [[equações de Friedmann]], e na [[equação de Poisson]] para a gravitação. Unidades de Planck modificadas em que 8π''G'' = 1 são conhecidas como ''unidades de Planck reduzidas'', porque a massa de Planck é dividida por <math>\sqrt{8\pi}\text{.}</math>

:*Escolhendo 16π''G'' = 1 eliminará a constante ''k'' = ''c''4/(16π''G'') da [[ação de Einstein-Hilbert]]. As [[equações de campo de Einstein]] com [[constante cosmológica]] Λ torna-se ''Rμν'' − Λ''gμν'' = (''Rgμν'' − ''Tμν'')/2.

Por isso um volume substancial de física teórica descoberta desde Planck (1899) sugere se normalizar a 1 não ''G'' mas 4''n''π''G'', ''n'' = 1, 2, or 4. No entanto, fazê-lo, seria introduzir um factor de 1/(4''n''π) na adimencionalizada lei de gravitação universal.

* Escohendo ''k'' to 2.

Isto removeria o fator de 2 na equação adimencionalizada da [[energia térmica]] por partícula por [[Graus de liberdade (física)|grau de liberdade]], e não afetaria o valor de qualquer base ou unidades derivadas outras que a [[temperatura de Planck]].

{{Referências}}

== {{Ver também}} ==
* [[Análise dimensional]]
* [[Constante física|Constantes físicas]]
* [[Constante de estrutura fina]]
* [[Unidades atômicas]]

{{Sistemas de medição}}

{{DEFAULTSORT:Unidades Planck}}
[[Categoria:Unidades de medida]]

Unidades de Planck - Histórico de revisões

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