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2014-01-22T13:00:13Z

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{{Mecânica Clássica|Movimento rotacional}}
{{PEPB|Binário|torque}}, '''momento de alavanca''' ou simplesmente '''momento''' (deve-se evitar este último termo, pois o mesmo pode referir-se também ao [[momento angular]], ao [[momento linear]] ou ao [[momento de inércia]]), é uma grandeza [[Vetor (matemática)|vetorial]] da [[física]].

É definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um [[Vector (espacial)|vector]].

== Introdução ==
O torque é definido pela relação:

<center>
:<math>\mathbf{\vec{\tau}} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{{\overrightarrow{p}}}\right) = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} +\vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}</math>
</center>

Pela [[segunda lei de Newton]], <math>\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}</math> .

Como <math>\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}</math>, e a velocidade tem a mesma direção do momento, tem-se que <math> \mathbf{\vec{v}} \times \mathbf{\vec{p}} = \mathbf{\vec{0}}</math>, logo

:<math> \mathbf{\vec{\tau}} = \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{\vec{F}} </math>

na qual <math>\times</math> é o [[produto vetorial]] ou externo. Em módulo,

:<math> |\mathbf{\tau}| = |\mathbf{r}| |\mathbf{F}| sen(\theta) </math>

sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada.

Numa linguagem mais informal, poderá dizer-se que o torque é a medida de quanto uma força que age em um objeto faz com que o mesmo gire.

== Unidades ==

É definida no [[Sistema Internacional de Unidades]] para o torque é o [[newton metro]]. Ainda que matematicamente a ordem destes factores, "newton" e "metros", seja arbitrária, o [[BIPM]] (''Bureau International des Poids et Mesures'') especifica<ref>[http://www1.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-2.html SI - Unidades derivadas]</ref> que a ordem deve ser N·m e não m·N.

== Cálculos de Forças ==

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las
todas para um mesmo ponto, mas por cada força <math>\vec F</math> deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura abaixo mostra uma força <math>\vec F</math> aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

[[Imagem:Torque vetor.png|thumb|500px|center|O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque <math>\tau</math>]]

O vetor posição <math>\vec r</math> do ponto P tem módulo r e faz um ângulo <math>\theta</math> com a força <math>\vec F</math> O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a ''r'' sin <math>\theta</math> e, portanto, o torque da força em relação a O é:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="3" align="center" width=10%
|<math>\tau = F\;r\;sin\theta</math>
|}

Repare que <math>(F\;sin\theta)</math> é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição <math>\vec r</math> e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math>

No caso da soma das forças paralelas , o deslocamento das forças para o ponto S
introduz dois torques, <math>(\tau_1 = F_1d_1)</math> e <math>(\tau_2 = F_2d_2)</math> os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças,do ponto S, é a força F, sem nenhum torque.

É também importante ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por <math>\vec F</math> quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math>. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores <math>\vec e_z</math> e <math>-\vec e_z</math> Assim, podemos definir o vetor torque <math>\vec \tau</math> usando a expressão vetorial:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="3" align="center" width=10%
|<math>\vec \tau = \vec r \times \vec F</math>
|}

em que <math> \vec r \times \vec F</math> é, por definição, um vetor com módulo dado pela

equação <math>\tau = F\;r\;sin\theta</math> , direção perpendicular ao plano definido por

<math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> e sentido dado pela regra da mão direita:

afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no

sentido de <math> \vec r </math> e o dedo médio no sentido de <math>\vec F</math> , o sentido

de <math>\vec \tau </math> é dado pelo dedo polegar.

É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; <math>(\vec a \times \vec b)</math> e <math>(\vec b \times \vec a)</math> são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto <math>\vec a \times \vec a</math> é sempre nulo; em particular,

<math>\vec e_x \times \vec e_x = \vec e_y \times \vec e_y = 0 </math>

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a
eles; assim, temos que

<math>(\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z)</math> e <math>(-\vec e_y \times \vec e_x = -\vec e_z)</math> .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" width=30%
|<math>\vec \tau = \begin{vmatrix}x & y \\ F_x & F_y\end{vmatrix}\vec e_z = (xF_y - yF_x)\vec e_z </math>
|}

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.<ref name=Villate>Trechos que usam material da obra {{Citar livro|ultimo=Villate|primeiro=Jaime E|ano=2013|título=Dinâmica e Sistemas Dinâmicos|isbn=978-972-99396-1-7|local=Porto|capítulo=6: Dinâmica dos corpos rígidos|url=http://def.fe.up.pt/pt/Din%C3%A2mica_dos_corpos_r%C3%ADgidos|acessodata=8 de junho de 2013}} Disponibilizada nos termos da [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ Creative Commons Attribution Share Alike 3.0].</ref>

== Equilíbrio de rotação ==

Diz-se que uma [[alavanca]] está em equilíbrio quando a soma de todos os seus momentos é nula.

:<math>\sum{T}=0</math>

== Momento e Binários ==
A [[torque|regra das alavancas]] pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço <math>b</math>),

<math>
M_\mathrm{O} = F\,b
</math>

O momento <math>M_\mathrm{O}</math> representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 27 jun. 2013.</ref>

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

[[Imagem:Momento de uma força..png|thumb|400px|Momento de uma força]]

Sendo <math>\vec{r}</math> o vetor posição do ponto P em que a força <math>\vec{F}</math> é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a <math>r\,\sin\theta</math>, em que o ângulo <math>\theta</math> é o ângulo entre os vetores <math>\vec{r}</math> e <math>\vec{F}</math> (figura ao lado). <ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 27 jun. 2013.</ref>

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

<math>
M_\mathrm{O} = F\,r\,\sin\theta
</math>

Repare-se que (<math>F\,\sin\theta</math>) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição <math>\vec{r}</math>, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, <math>r</math>, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 27 jun. 2013.</ref>

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

<math>
\vec{M}_\mathrm{O} = \vec{r}\times\vec{F}
</math>

O vetor <math>\vec{M}_\mathrm{O}</math> representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor <math>\vec{M}_\mathrm{O}</math>.

Um binário é um conjunto de duas forças <math>\vec{F}</math> e <math>-\vec{F}</math>, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

[[Imagem:Binário..png|thumb|left|450px|Binário]]

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

<math>
\vec{r}_\mathrm{Q}\times\vec{F} - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F} = (\vec{r}_\mathrm{Q}) - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F}
</math>

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor <math>\vec{r}_\mathrm{PQ}</math> na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

<math>
\vec{M} = \vec{r}_\mathrm{PQ}\times\vec{F}
</math>

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

[[Imagem:Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q.png|thumb|center|550px|Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q]]

Uma força <math>\vec{F}</math> aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças <math>-\vec{F}</math> e <math>\vec{F}</math> nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário <math>\vec{M}</math> com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, <math>M</math> deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de <math>F</math> pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, <math>\vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}</math>.

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força <math>\vec{F}</math> no ponto Q e o binário <math>\vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}</math> que é igual ao momento <math>\vec{M}_Q</math> que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo <math>x</math> e <math>y</math> e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força <math>\vec{F}</math> em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo <math>z</math>, dada pelo determinante,

<math>
M_z = \left| \begin{array}{cc}x & y \\ F_x & F_y \end{array} \right|
</math>

em que <math>x</math> e <math>y</math> são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força <math>\vec{F}</math>.

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de <math>M_z</math> obtidos para cada força.<ref name=Villate>[ ''Dinâmica e Sistemas Dinâmicos''. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 27 jun. 2013.</ref>

==Ver também==

* [[Impulso]]
* [[Movimento circular uniforme]]
* [[Binário do motor]] ou torque do motor

{{Referências}}

[[Categoria:Mecânica clássica]]

Torque - Histórico de revisões

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