Calimero0000: uma edição

2013-05-03T11:41:39Z

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O '''oscilador harmônico quântico''' é o análogo [[mecânica quântica|mecânico quântico]] do [[oscilador harmônico|oscilador harmônico clássico]]. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do [[Equilíbrio mecânico|ponto de equilíbrio]] estável ([[Extremos de uma função|mínimo]]). Além disso, é um dos sistemas mecânico quânticos que admite uma solução analítica precisa.

== Oscilador harmônico monodimensional ==

=== Hamiltoniano, energia e autofunções ===

[[Ficheiro:HarmOsziFunktionen.png|right|thumb|Funções de onda para os primeiros seis autoestados, <math>v = 0 \mbox{ a } 7</math>. O eixo horizontal mostra a posição ''y'' em unidades (h/2πmω)<sup>1/2</sup>. Os gráficos não estão normalizados.]]

[[Ficheiro:QHarmonicOscillator.png|right|thumb|Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)]]

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa <math>\displaystyle m</math> está submetida a um potencial quadrático <math>\displaystyle V(x) = \frac{1}{2} k x^2</math>. Em [[mecânica clássica]] <math>\displaystyle k= m \omega^2 </math> se denomina constante de força ou [[constante elástica]], e depende da massa <math> m</math> da partícula e da [[frequência angular]] <math>\displaystyle \omega</math>.

O [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|Hamiltoniano quântico]] da partícula é:

:<math>\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2</math>

onde <math>x\,</math> é o [[operador]] [[posição]] e <math> \hat p\,</math> é o operador [[momento]] <math>\left(\hat p = -i \hbar {d \over dx} \right)</math>. O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os [[estado estacionário|estados estacionários]] (ou seja, as [[autovalor e autovetor|autofunções]] e os [[autovalor e autovetor|autovalores]] do Hamiltoniano ou valores dos níveis de [[energia]] permitidos), temos que resolver a [[equação de Schrödinger]] independente do tempo

:<math> \hat H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle </math>.

Pode-se resolver a equação diferencial na [[representação de coordenadas]] utilizando o método de desenvolver a solução em [[série de potências]]. Se obtém assim que a família de soluções é

:<math> \left\langle x | \psi_v \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^v\,v!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_v\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)
</math>

:<math>
v = 0, 1, 2, \ldots
</math>

onde <math>v\,</math> representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções (<math>v = 0 \mbox{ a } 5\,</math>) se mostram na figura da direita. As funções <math>H_n</math> são os [[polinômios de Hermite]]:

:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>

Não se devem confundir com o Hamiltoniano, que às vezes se denota por ''H'' (ainda que é preferível utilizar a notação <math> \hat H</math> para evitar confusões). Os níveis de energia são

:<math> E_v = \hbar \omega \left(v + {1\over 2}\right) \qquad v = 0, 1, 2, \ldots </math>.

Este [[espectro]] de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras 1/2, 3/2, 5/2, ... de <math>\hbar\omega</math>. Este resultado é característico dos sistemas mecâno-quânticos. Na seguinte seção sobre os [[operador escalar|operadores escalares]] faremos um detalhado análise deste fenômeno.
A segunda é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é <math>\hbar\omega/2</math>, e se denomina "energia do [[estado fundamental]]" ou [[energia do ponto zero]].
A última razão é que os níveis de energia estão equiespaçados, ao contrário que no [[modelo de Bohr]] ou a [[partícula em uma caixa]].

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e por tanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o [[princípio de correspondência]].

=== Aplicação: moléculas diatômicas ===

{{AP|[[Molécula diatômica]]}}

Para estudar o movimento de vibração dos núcleos pode-se utilizar, em uma primeira aproximação, o modelo do oscilador harmônico. Se consideramos pequenas vibrações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desenvolver o potencial eletrônico em série de potências. Assim, no caso de pequenas oscilações o termo que domina é o quadrático, ou seja, um potencial de tipo harmônico. Portanto, em moléculas diatômicas, a [[frequência]] fundamental de vibração será dada por:<ref>[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc.html Quantum Harmonic Oscillator - '''hyperphysics.phy-astr.gsu.edu'''] {{en}}</ref>

:<math>\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{\mu}} </math>

que se relaciona com a frequência angular mediante <math>\omega = 2 \pi \nu \, </math> e depende da [[massa reduzida]] <math>\mu \,</math> da molécula diatômica.

== Referências ==

<references/>

* [[David Griffiths (físico)|Griffiths, David J.]] (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
* [[Richard Liboff|Liboff, Richard L.]] (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.

[[Categoria:Mecânica quântica]]

Oscilador harmônico quântico - Histórico de revisões

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