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2014-01-22T13:16:29Z

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[[Imagem:Blue-sphere.png|thumb|direita|Uma esfera.]]
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A '''esfera''' pode ser definida como "um [[sólido]] geométrico formado por uma [[superfície]] curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente [[simetria|simétrico]].<ref>{{citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html|título=Esfera|autor=[[Eric W. Weisstein]]|obra=[[Wolfram Research]]|data=|publicado=[[MathWorld]]|acessodata=11 de novembro de 2012}}</ref> Na [[matemática]], o termo se refere à superfície de uma [[Bola (matemática)|bola]]. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto à [[geometria analítica]], uma esfera é representada (em [[Sistema de coordenadas cartesiano|coordenadas retangulares]]) pela equação: <math>(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2</math> em que a, b, c são os deslocamentos nos [[eixo]]s x, y, z respectivamente, e r é o [[raio]] da esfera.

== Área e volume ==
[[Imagem:Esfera Cavalieri.png‎|thumb|250px|semi-esfera]]
A [[área]] de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:
: <math>A = 4\pi r^2</math>

O [[volume]] de uma esfera é dado pela fórmula
: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>
onde ''r'' é o raio da esfera e π é a constante [[pi]].

== Calota x segmento esférico ==
[[Imagem:Calotasegmento esferico.png‎|thumb|Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.]]

Calota seria metaforicamente "''a tampa de uma laranja''", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

<math> Ac = 2 \pi \cdot r \cdot h</math>

Área do Segmento Esférico:

<math> As = At - Ac </math>

Em que, ''As'' é a área do segmento, ''At'' área total da esfera e, ''Ac'' área da calota.

O volume do segmento é:

<math> V = {\pi \cdot h^2 \over 3} \cdot (3 \cdot R - h) </math>

== Fuso x cunha ==
[[Imagem:Fusocunha1.JPG‎]]
''Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.''

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "''goma de mexirica''" (metaforicamente).

Área do fuso:

<math> Af = {\alpha \over 360} \cdot 4 \pi \cdot r^2 </math>

<math>\alpha</math> é o ângulo do fuso.

O volume do fuso é:

<math> Vc = {\alpha \over 360} \cdot {4 \over 3} \cdot \pi r^3 </math>

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

== Volume ==
O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo ''x'', de ''x = r'' (y = 0) até ''x = 0'' onde o disco tem raio ''r'' (''y = r'').

Num dado ''x'', o volume incremental (''δV'') é dado pelo produto da área transversal no ponto ''x'' pela largura (''δx''):

: <math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

: <math>V_{\frac{1}{2}} \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

: <math>V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi y^2 dx.</math>

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando ''x'', ''y'' e ''r'' à origem, obedecendo ao [[teorema de Pitágoras]]:

: <math>r^2 = x^2 + y^2.</math>

Substituindo y:

: <math>V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.</math>
Calculando a [[integral]]:

: <math>V_{\frac{1}{2}} = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.</math>

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3.</math>

== Área ==
Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):
: <math>\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_{0}^{r}A(r) dr.</math>
Derivando os dois lados da equação em relação a ''r'':

: <math>4\pi r^2 = A(r).</math>

Que pode ser abreviada como:

: <math>A = 4\pi r^2.</math>

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

: <math>dA = r^2 \mathrm{sen}\,\phi\, d\phi\, d\theta.</math>

Portanto a área total será:

: <math>A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2 \mathrm{sen}\,\phi \, d\phi \, d\theta = 4\pi r^2.</math>

== Equação da esfera em R3 ==
Em [[geometria analítica]], uma esfera com centro (''x''0, ''y''0, ''z''0) e raio ''r'' é o [[lugar geométrico]] tal que:

: <math>(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>

Na forma parametrizada

: <math>x = x_0 + r \mathrm{sen}\, \theta \; \cos \varphi </math>
: <math>y = y_0 + r \mathrm{sen}\, \theta \; \mathrm{sen}\, \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \theta \leq \pi )</math>
: <math>z = z_0 + r \cos \theta</math>

{{Referências}}

== Ver também ==
* [[Esfera tridimensional]]

== Ligações externas ==
{{commonscat|Spheres}}
* [http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/cq.pdf Livro Cônicas e Quádricas]: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 246 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.

[[Categoria:Sólidos geométricos]]

Esfera - Histórico de revisões

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