Calimero0000: uma edição

2013-05-05T13:13:36Z

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As '''equações de Navier Stokes''' são [[equação diferencial|equações diferenciais]] que descrevem o escoamento de [[fluido]]s. São equações a [[derivada]]s parciais que permitem determinar os campos de [[velocidade]] e de [[pressão]] num escoamento. Foram denominadas assim após [[Claude-Louis Navier]] e [[George Gabriel Stokes]] desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias [[fluido|fluidas]] tais como [[líquido]]s e [[gas]]es. Estas equações estabelecem que mudanças no [[momento]] e [[aceleração]] de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na [[pressão]] e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando dentro do fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular e atua como gavinhas para fluido.

Portanto, elas são um dos mais úteis conjuntos de equações, pois descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesses econômicos e acadêmicos, inclusive em diversos ramos da engenharia. São usadas para [[modelo|modelar]] o [[clima]], [[correntes oceânicas]], fluxos da água em oceanos, estuários, lagos e rios, movimentos das [[estrelas]] dentro e fora da [[galáxia]], fluxo ao redor de [[aerofólio]]s (asas) de automóveis e de aviões, propagação de fumaça em incêndios e em chaminés industriais ([[dispersão]]). Também são usadas diretamente nos projetos de aeronaves e carros, nos estudos do fluxo sangüíneo ([[hemodinâmica]]), no projeto de [[usinas hidrelétricas]], nos projetos de [[hidráulica marítima]], na análise dos efeitos da [[poluição hídrica]] em rios, mares, lagos, oceanos e da dispersão da poluição atmosférica, etc... O [[modelo matemático]] muitas vezes deve ser complementado por um [[modelo físico]] num [[laboratório de hidráulica]] ou num [[túnel de vento]], tendo em vista as suas limitações práticas para representar escoamentos tridimensionais.

As equações de Navier-Stokes, juntamente com as equações de Maxwell, podem ser úteis para a modelagem e para estudos na [[magnetodinâmica]].

Estas são [[equações diferenciais]] que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das [[equação algébrica|equações algébricas]], não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. [[velocidade]] e [[pressão]]). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as ''taxas de variação'' ou [[fluxo]]s destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas [[derivada]]s. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um [[fluido ideal]] com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna.

Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico devem ser obtidas com a ajuda do [[cálculo]]. Em termos práticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-[[turbulento]] em estado estacionário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a [[viscosidade]] do fluido é grande ou sua velocidade pequena ([[número de Reynolds]] pequenos).

Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o [[El Niño]] ou a [[Sustentação (aerodinâmica)|sustentação]] em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como [[CFD]], sigla do inglês Computational Fluid Dynamics ou [[Dinâmica dos Fluidos Computacional]].

Embora estas equações foram escritas no século 19, ainda não foi comprovado que, a três dimensões existem sempre soluções , ou que, se elas existem, então não contêm qualquer singularidade (ou infinito ou descontinuidade).<ref>{{Citar web
|url=http://www.wolframscience.com/reference/notes/996d
|titulo=Historical Notes: Navier-Stokes equations
|publicado=wolframscience.com
|acessodata=15-Abril-2010
}}</ref> Existe um prêmio de 1.000.000 U$ que foi oferecido em Maio de 2000 pelo o [[Clay Mathematics Institute|Instituto de Matemática Clay]] para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que possa ajudar a entender este fenômeno.<ref>{{Citar web
|url=http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/
|titulo=Clay Mathematics Institute
|publicado=www.claymath.org
|acessodata=15-Abril-2010
}}</ref>

== Suposições básicas ==

Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer várias suposições à cerca dos fluidos. A primeira é que um fluido é um meio continuo. Isto significa que ele não contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como [[pressão]], [[velocidade]], [[densidade]], [[temperatura]], etc., são [[derivada|diferenciáveis]] (isto é, não tem [[transição de fase]]).

Estas equações são obtidas de princípios básicos de [[conservação da massa]], [[momento]], e [[energia]]. Para este objetivo, algumas vezes é necessário considerar um volume arbitrariamente finito, chamado de um [[volume de controle]], sobre o qual estes princípios possam ser facilmente aplicados. Este volume é representado por <math>\Omega</math> e sua superfície de confinamento por <math>\partial \Omega</math>. O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o fluido. Isto conduz, contudo, para considerações especiais, como será mostrado a seguir.

== Propriedades ==

=== Não linearidade ===

As equações de Navier-Stokes são [[equações diferenciais]] parciais não-lineares em praticamente todas as situações reais. Em alguns casos, tais como no [[fluxo unidimensional]] e no [[escoamento de Stokes]], estas equações podem ser simplificados em [[Equação linear|equações lineares]].<ref>{{Citar web
|url=http://universe-review.ca/R13-10-NSeqs.htm#NSeqs
|titulo=Fluid Dynamics and the Navier-Stokes Equations
|publicado=universe-review.ca
|acessodata=15-Abril-2010
}}</ref> A não linearidade faz com que a maioria dos problemas sejam difíceis ou impossíveis de resolver e é o principal contribuinte para a turbulência que o modelo de equações.<ref>{{Citar web
|url=http://www.bv.fapesp.br/projetos-tematicos/1100/snens-iii-solucao-numerica-equacoes-navier-stokes/
|titulo=SNENS III - solução numérica das equações de Navier-Stokes: escoamentos...
|publicado=www.bv.fapesp.br
|acessodata=15-Abril-2010
}}</ref>

=== Turbulência ===

Na mecânica de fluidos, turbulência ou [[fluxo turbulento]] é um regime de fluido caótico, caracterizado por alterações de propriedade estocástica.<ref>{{Citar web
|url=http://www.efunda.com/formulae/fluids/glossary.cfm?ref=lam#lam
|titulo=Glossary of Fluid Mechanics Terms
|publicado=www.efunda.com
|acessodata=19-Abril-2010
}}</ref>

Um fluxo sob [[fluxo turbulento|regime turbulento]] pode dar-se em variadas situações, tanto em superfícies livre como em escoamentos confinados, sendo esta habitual em situações de caudal elevado. O parâmetro mais utilizado para a verificação da existência deste regime é o número de Reynolds, sendo que caso o valor deste seja superior a 2500, o regime é considerado turbulento.<ref>{{Citar web
|url=http://209.85.129.132/search?q=cache:bMzRm60_R58J:www22.pair.com/csdc/download/clayt7.pdf+navier+stokes+turbulence&cd=4&hl=pt-PT&ct=clnk&client=firefox-a
|titulo=Turbulence and the Navier-Stokes Equations
|publicado=209.85.129.132
|acessodata=19-Abril-2010
}}</ref><ref>{{Citar web
|url=http://74.125.77.132/search?q=cache:cvlga_NgvzIJ:www-f1.ijs.si/~rudi/sola/jure.ps+navier+stokes+turbulence&cd=22&hl=pt-PT&ct=clnk&client=firefox-a
|titulo=TURBULENCE AND THE NAVIER-STOKES EQUATIONS
|publicado=74.125.77.132
|acessodata=19-Abril-2010
}}</ref>

== A derivada material ==

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através de um exemplo, utilizando a medição da velocidade do vento na [[atmosfera]]. Uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de [[anemômetro]] em uma estação climática, ou pela liberação de um balão atmosférico. Claro que o primeiro caso é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passam através de um ponto fixo no espaço. Contudo, no segundo caso, o instrumento está medindo mudanças na velocidade a medida que ele se move com o fluido. A mesma situação surge com medidas da mudança da densidade, temperatura, etc. Contudo, quando aplicamos uma diferenciação devemos destacar as diferenças destes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como ''espacial'' ou ''derivada de Euler''. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de ''substantiva'' ou derivada ''Lagrangiana''.

A derivada material é definida pelo operador:

:<math>\frac{D}{Dt}(\cdot) \equiv \frac{\partial(\cdot)}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\cdot)</math>

onde <math>\mathbf{v}</math> é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada com referência a um ponto fixo de referência) contudo o segundo termo representa as mudanças trazidas pelo movimento do fluido.

== Leis de Conservação ==

As equações de Navier-Stokes são derivadas dos [[Leis da Conservação|princípios da conservação]] da:

* [[Massa]]
* [[Energia]]
* [[Momento Linear]]
* [[Momento Angular]]

Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou [[equação de estado]] para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua <math>L</math> definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto é expresso pela equação integral:

:<math>\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} Q d\Omega</math>

Onde '''v''' é a velocidade do fluido e Q representa as fontes e sorvedouros no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

:<math>\frac{d}{d t} \int_{\Omega} L d\Omega = -\int_{\Omega} \nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) d\Omega + \int_{\Omega} Q d\Omega </math>

Note que o [[teorema da divergência]] de Gauss foi usado na dedução desta última equação, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle
Portanto:

:<math> \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega = - \int_{\Omega} (\nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) - Q) d\Omega </math>

A expressão acima é válida para <math>\Omega</math>, que é um volume de controle que permanece fixo no espaço. Devido a <math>\Omega</math> não variar no tempo, é possível trocar os operadores "<math>\frac{d}{dt}</math>" e "<math> \int_{\Omega}^{} d\Omega</math>". E como esta expressão é valida para ''todos'' os domínios podemos, além disso, remover a integral.

Com a introdução da derivada material obtemos, quando <math> Q = 0 </math> (nenhuma fonte ou sorvedouro):

:<math>\frac{\partial}{\partial t} L + \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) = \frac{D}{Dt}L + L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) = 0</math>

==== Equação da continuidade ====

A conservação da massa é descrita assim:

:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} +
\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0 </math>
:<math>
=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho
</math>
:<math>
=\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0
</math>

onde <math>\rho</math> é a densidade de massa (massa por unidade de volume), e v é a velocidade do fluido.

No caso de um [[fluido incompressível]], <math>\rho</math> não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a:

:<math>\nabla\cdot\mathbf{v} = 0</math>:

==== Conservação do momento ====

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) + \nabla
\cdot (\rho v_i \mathbf{v}) =
\rho f_i .</math>

<math> \rho f_i </math> é a i-ésima componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de pressão.
Isto também pode ser expresso como:

:<math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}</math>

Note que <math>\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}</math> é um [[tensor]], o <math>\otimes</math> representa o [[produto tensorial]].

Nos podemos simplificar isto mais, usando a equação de continuidade, obtendo:

:<math>\rho\frac{D v_i}{D t}=\rho f_i</math>
a qual é frequentemente escrita como:
:<math>\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}=\rho \mathbf{f}</math>

Na qual reconhecemos o usual '''F'''=m'''a'''.

== A equação ==

=== Forma Geral ===

==== A forma das equações ====

A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é:

:<math>\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}</math>
Onde:
<math>
\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix} </math>

onde os <math>\sigma</math> são a tensão normal, <math>\tau</math> tensão tangencial (tensão cisalhamento), e p é a pressão estática, associada como a parte isotrópica do tensor de tensões ''sem considerar se o fluido está ou não em equilíbrio''.

Finalmente, temos:

:<math>\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \rho\mathbf{f}</math>

onde <math>\mathbb{T}</math> é a somatória da diagonal principal de <math>\mathbb{P}</math>.

Esta equação está ainda incompleta. Para completá-la, deve ser feita uma hipótese na forma de <math>\mathbb{P}</math>, que é uma necessária lei constitutiva para o tensor de tensões como mostrado abaixo.

O fluxo é tido como sendo [[diferenciável]] e [[função continua|contínuo]], permitindo que as leis de conservação sejam expressas como equações diferenciais parciais. No caso de fluidos incompressíveis (densidade constante), as variáveis a serem selecionadas são os componentes da pressão e velocidade. Os três componentes das equações de Navier-Stokes mais a conservação da massa (equação de continuidade) formam um sistema fechado de equações diferenciais parciais bem definidas para estas variáveis, que pode ser resolvido, em principio, para condições de contorno adequadas.

A equação pode ser convertida para equações de Wilkinson pelo uso de variáveis secundárias [[vorticidade]] e [[função de fluxo]]. A solução depende das propriedades do fluxo (tais como [[viscosidade]], [[calor específico]], e [[condutividade térmica]]), e das soluções de contorno do domínio de estudo.

== Formas especiais ==

Estas são algumas simplificações usuais do problema para as quais algumas soluções são conhecidas.

==== Fluidos Newtonianos ====

Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses são válidas:

:<math>p_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)</math>

onde:
:<math>\mu</math> é a [[viscosidade]] do fluido.
:<math>\delta_{ij}</math> é o [[delta Kronecker]] (1 for i=j; 0 for i <math>\ne</math> j).

Para entender como isto foi ''derivado'', notemos primeiro que no equilibrio, pij=-pδij. Para um fluido Newtoniano, a variação do tensor força covariante do valor de equilíbrio é linear no gradiente da velocidade. Ele obviamente não pode depender da própria velocidade devido a [[Invariância de Galileu|Covariância de Galileu]]. Em outras palavras, pij+pδij é linear na <math>\partial_i v_j</math>. O fluido que são considerados aqui são [[invariância rotacional|invariante rotacionalmente]] (isto é, eles não são [[cristal líquido|cristais líquidos]].

==== Fluidos Bingham ====

Nos fluidos de fluidos Bingham, nos temos algo ligeiramente diferente:

:<math>\tau_{ij}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0 </math>

Estes são fluidos capazes de suportar algum força de cisalhamento antes de iniciar o fluxo. Alguns exemplos comuns são [[pasta de dente]] e [[Plasticina|massa de modelagem]].

==== Fluidos Incompressiveis ====

A equação de Navier-Stokes são
:<math>
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[
2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right]</math>
Para [[conservação de momento]] e
:<math>\nabla\cdot\mathbf{v}=0</math>
para [[conservação da massa]].

onde
:<math>\rho</math> é a [[densidade]],
:<math>u_i</math> (<math>i=1,2,3</math>) são os tres components da velocidade,
:<math>f_i</math> forces que atuam no corpo (tais como a gravidade),
:<math>p</math> a [[pressão]],
:<math>\mu</math> a [[viscosidade dinâmica]], de um ponto do fluido;

:<math>e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)</math>;
:<math>\Delta=e_{ii}</math> é a [[divergência]],
:<math>\delta_{ij}</math> é o [[delta Kronecker]].

Se <math>\mu</math> é constante em todo o fluido, o momento da equação acima é simplificado para

:<math>
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}
+\mu
\left(
\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+ \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)
</math>

Se agora adicionalmente <math>\rho</math> é assumido constante nos obtemos o seguinte sistema:
:<math> \rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x</math>
:<math> \rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y</math>
:<math> \rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z</math>

Equação de continuidade (assumindo incompressibilidade):

:<math> {\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0 </math>

Note que as equações de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente, a uma escala extremamente pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais são constituídos de uma mistura de moléculas discretas e outros materiais, tais como partículas em suspensão e gases dissolvidos, o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogêneo modelado pela equações de Navier-Stokes. Dependendo do [[número de Knudsen]] do problema, a [[mecânica estatística]] deve ser uma abordagem mais apropriada. Contudo, as equações de Navier-Stokes são úteis para um grande número de problemas práticos, dentro de suas limitações.

==== Simplificações adicionais e notação Vectorial e Integral====

As equações de Navier-Stokes podem-se expressar numa forma mais simplificada tomando as diferentes propriedades como constantes o variáveis, e supondo escoamentos em regime permanente, por exemplo. Além disso, resulta mais pratico o uso da notação indicial, especialmente no caso da programação em aplicações de simulação numérica.<ref>{{Citar web
|url=http://unal.academia.edu/DanielFl%C3%B3rezOrrego/Papers/1593120/Ecuacoes_de_Navier-Stokes/
|titulo=Equações de Navier-Stokes
|publicado=Flórez-Orrego,Daniel, Escola Politécnica da USP
|acessodata=08-Agosto-2012
}}</ref>

== {{Ver também}} ==

* [[Teorema de transporte de Reynolds]]
* [[Número de Reynolds]]
* [[Número Mach]]
* [[Número de Froude]]
* [[Fluxo de multifase]]
* [[CFD]]
* [[Modelo físico]]
* [[Modelo matemático]]
* [[Hidráulica]]
* [[Aerodinâmica]]

{{Referências}}

* Inge L. Rhyming ''Dynamique des fluides'', 1991 PPUR
* A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, ''Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering'', Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8

{{Equações diferenciais}}

[[Categoria:Mecânica de fluidos]]
[[Categoria:Hidráulica]]
[[Categoria:Aerodinâmica]]
[[Categoria:Física]]

Equações de Navier-Stokes - Histórico de revisões

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