Calimero0000: uma edição

2013-05-03T11:40:41Z

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{{Mecânica-quântica|Topico-c=Equações}}
Em [[Física]], a '''Equação de Schrödinger''', proposta pelo físico [[Áustria|austríaco]] [[Erwin Schrödinger]] em [[1925]], descreve a [[evolução temporal]] do [[estado quântico]] de um [[sistema físico]]. Essa equação tem uma importância capital na teoria da [[mecânica quântica]], e seu papel é similar ao da [[segunda Lei de Newton]] na [[Mecânica Clássica]].

Pela formulação matemática da mecânica quântica, todo sistema é associado a um [[espaço de Hilbert]] [[número complexo|complexo]], tal que cada estado instantâneo do sistema é descrito por um [[vetor unitário]] nesse espaço. Este vetor de estados guarda as probabilidades para os resultados de todas as possíveis medições aplicadas ao sistema. Em geral, o estado de um sistema varia no tempo e o vetor de estados é uma função do tempo. A equação de Schrödinger provê uma descrição quantitativa da taxa de variação deste vetor.

Usando a [[bra-ket|notação]] de [[Paul Dirac|Dirac]], o vetor de estados é dado, num tempo ''t'' por |ψ(''t'')>. A equação de Schrödinger é:

::<math> H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar \frac{d} {dt} \left| \psi (t) \right\rangle</math>

Nas equações, ''i'' é o número imaginário, ''ħ'' é a [[constante de Planck]] dividida por 2π e o [[Hamiltoniano]] H(t) é um [[operador auto-adjunto]] atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a [[força]] na [[segunda Lei de Newton]], ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Uma maneira mais didática de observar a Equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: <math> E_m = E_c + V </math>

Equação do [[Oscilador harmônico]]: <math> \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+ \left( \frac {2 \pi}{\lambda} \right)^2 \psi = 0</math>

Relação de De Broglie: <math> \lambda = \frac {h}{p}</math>

Onde <math>\psi</math> é a função de onda, <math>\lambda</math> é o [[comprimento de onda]], h é a [[constante de Planck]] e p é o [[momento linear]].

Da Relação de De Broglie, temos que <math> \lambda = \frac {h}{mv} </math>, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

<math> \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+ \left( \frac {2 \pi mv}{h} \right)^2 \psi = 0 \to \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = \frac {-4 (\pi)^2 m^2 v^2}{h^2}\psi \to \frac {-h^2}{4(\pi)^2 m^2}\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = v^2 \psi </math>

Rearranjando a equação de energia, temos que <math> v^2 = \frac {2 (E_m - V)}{m}</math>, substituindo <math>v^2</math> na equação anterior:

<math> \frac {-h^2}{4(\pi)^2 m} \quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2} = 2(E_m - V) \psi </math> , definindo <math> \hbar\ = \frac {h}{2\pi}</math>, temos:

<math> \frac {-\hbar^2}{2m}\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^2}+V\psi = E\psi</math>

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de [[operadores]]:

<math>\widehat {H}\psi = E\psi</math>, em que <math>\widehat {H}\psi</math> é o [[Hamiltoniano (mecânica quântica)|Operador Hamiltoniano]] operando sobre a [[função de onda]].

== {{Ver também}} ==
* [[Mecânica Quântica]]
* [[Gato de Schrödinger]]
* [[Nobel de Física]]

{{esboço-física}}

[[Categoria:Mecânica quântica]]
[[Categoria:Equações diferenciais parciais]]

Equação de Schrödinger - Histórico de revisões

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