Calimero0000: uma edição

2013-05-03T11:41:15Z

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O '''determinante de Slater''' é uma técnica [[matemática]] da [[mecânica quântica]] que se usa para gerar [[função de onda|funções de onda]] antissimétricas que descrevam os estados colectivos de vários [[fermião|fermiões]] e que cumpram o [[princípio de exclusão de Pauli]].

Este tipo de determinantes foram nomeados em referência a [[John C. Slater]], [[Física|físico]] e [[Química teórica|químico teórico]] [[Estados Unidos da América|americano]].

==Duas partículas==
Para ilustrar o seu funcionamento pode-se considerar o caso mais simples: o de duas partículas. Se <math>\boldsymbol{x}_1</math> e <math>\boldsymbol{x}_2</math> são as coordenadas da partícula 1 e da partícula 2 respectivamente, pode-se gerar a função de ondas colectiva <math>\Psi</math> como produto das funções de onda individuais de cada partícula. Quer dizer:

:<math>\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) = \chi_1(\boldsymbol{x}_1)\chi_2(\boldsymbol{x}_2).</math>

Esta expressão é conhecida como o [[produto de Hartree]]. De facto, este tipo de função de ondas não é válido para a representação de estados colectivos de fermiões já que esta função de ondas não é antissimétrica ante um intercâmbio de partículas. A função deve satisfazer a seguinte condição

:<math>\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) = -\Psi(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_1).</math>

O produto de Hartree não satisfaz o princípio de Pauli. Este problema poderá ser resolvido se tivermos em conta a [[combinação linear]] de ambos os produtos de Hartree

:<math>\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\chi_1(\boldsymbol{x}_1)\chi_2(\boldsymbol{x}_2) - \chi_1(\boldsymbol{x}_2)\chi_2(\boldsymbol{x}_1)\right],</math>

onde foi incluído um factor para que a função de ondas esteja normalizada convenientemente. Esta última equação pode ser reescrita como um [[determinante]], da seguinte forma:

:<math>
\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left|
\begin{matrix} \chi_1(\boldsymbol{x}_1) & \chi_1(\boldsymbol{x}_2) \\
\chi_2(\boldsymbol{x}_1) & \chi_2(\boldsymbol{x}_2)
\end{matrix}
\right|,
</math>

conhecido como '''determinante de Slater''' das funções <math>\chi_1</math> e <math>\chi_2</math>. As funções assim geradas têm a propriedade de anular-se si duas das funções de onda de uma partícula forem igual ou, o que é equivalente, dois dos fermiões estejam no mesmo estado quântico. Isto é equivalente a satisfazer o [[princípio de exclusão de Pauli]].

== Generalização a <math>N</math> partículas ==

Esta expressão pode ser generalizada sem grande dificuldade a qualquer número de [[fermião|fermiões]]. Para um sistema composto por <math>N</math> fermiões, define-se o determinante de Slater como

:<math>
\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N) =
\frac{1}{\sqrt{N!}}
\left|
\begin{matrix} \chi_1(\boldsymbol{x}_1) & \chi_1(\boldsymbol{x}_2) & \cdots & \chi_1(\boldsymbol{x}_N) \\
\chi_2(\boldsymbol{x}_1) & \chi_2(\boldsymbol{x}_2) & \cdots & \chi_2(\boldsymbol{x}_N) \\
\vdots & \vdots && \vdots \\
\chi_N(\boldsymbol{x}_1) & \chi_N(\boldsymbol{x}_2) & \cdots & \chi_N(\boldsymbol{x}_N)
\end{matrix}
\right|.
</math>

O uso do determinante como gerador da função de ondas garante a antissimetríca com respeito ao intercâmbio de partículas, assim como a impossibilidade de que duas partículas estejam no mesmo estado quântico, aspecto crucial ao se tratar com fermiões.

No [[método de Hartree-Fock]], um único determinante de Slater usa-se como aproximação à função de ondas electrónica. Em métodos de cálculo mais precisos, tais como a [[interacção de configuração]] ou o [[MCSCF]], utilizam-se sobreposições lineares de determinantes de Slater.

==Bibliografia==
*J. C. Slater, ''[http://link.aps.org/abstract/PR/v38/p1109 Molecular Energy Levels and Valence Bonds]''. Phys. Rev. 38, 1109 - 1144 (1931).

[[Categoria:Álgebra linear]]
[[Categoria:Mecânica quântica]]

Determinante de Slater - Histórico de revisões

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