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2013-11-28T22:19:48Z

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{{Cálculo}}
No [[cálculo]], a '''derivada''' representa a taxa de variação instantânea de uma [[função (matemática)|função]]<ref>STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 159.</ref>. Um exemplo típico é a função [[velocidade]] que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Diz-se que uma [[função (matemática)|função]] ''f'' é ''derivável'' (ou ''diferenciável'') se, próximo de cada ponto ''a'' do seu [[Domínio (matemática)|domínio]], a função ''f''(''x'') − ''f''(''a'') se comportar aproximadamente como uma [[Transformação linear|função linear]], ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a '''derivada''' da função ''f'' no ponto ''a'' e representa-se por

<math>f'(a)</math> ou por <math>\frac{df}{dx}(a)</math>.

[[Imagem:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|300px|''Click'' para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> é a tangente do [[Entes geométricos fundamentais#Coeficiente angular|ângulo]] que a [[reta tangente]] a [[curva]] faz em relaçao ao [[abscissa|eixo das abscissas]]. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é [[Número positivo|positiva]] quando verde, [[Número negativo|negativa]] quando vermelha, e [[zero]] quando preta.]]

==Definição formal==
Seja ''I'' um intervalo com mais do que um ponto do [[conjunto]] <math>\mathbb{R}</math> dos [[números reais]] e seja ''f'' uma [[função (matemática)|função]] de ''I'' em <math>\mathbb{R}</math> (função esta que é formalmente denotada por <math> f:I\rightarrow \mathbb{R}</math>) . Se o ponto <math>a\in I</math> (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que ''f'' é derivável em ''a'' se existir o [[limite]] <ref>STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 156.</ref> e o mesmo for finito
:<math>f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h</math>, onde <math>h=x-a\leftrightarrow x=a+h</math>.
Se for esse o caso, aquele limite designa-se por ''derivada da função f no ponto a'' e representa-se por ''f′''(''a''). Note-se que a derivada de ''f'' em ''a'', se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se ''I'' fosse um conjunto qualquer de números reais e se ''a'' fosse um ponto não isolado de ''I''.
{|
| Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de [[limite]]. Considera-se a inclinação da [[secante]], quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de ''f'' convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da [[tangente]].|| [[Ficheiro:Secante-calculo.gif|thumb|280px|center|Inclinação da secante ao gráfico de ''f'']] || [[Ficheiro:Derivada.svg|thumb|280px|center|Inclinação da tangente à curva como a derivada de ''f''(''x'')]]
|}
O declive da secante ao gráfico de ''f'' que passa pelos pontos (''x'',''f''(''x'')) e (''x'' + ''h'',''f''(''x'' + ''h'')) é dado pelo ''quociente de [[Isaac Newton|Newton]]'':
:<math>\frac{f(x+h)-f(x)}h</math>.

Uma definição alternativa é: a função ''f'' é derivável em ''a'' se existir uma função φ''a'' de ''I'' em '''R''' contínua em ''a'' tal que
:<math>(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a)</math>.
Então define-se a derivada de ''f'' em ''a'' como sendo φ''a''(''a'').
=== Funções com valores em R<math>^n</math> ===
Se <math>I</math> for um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto e se <math>f</math> for uma função de <math>I</math> em <math>\mathbb{R}^n</math>, para algum [[número natural]] <math>n</math>, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função
:<math>\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array}</math> (ou seja: uma função que a cada x do [[domínio]] em <math>\mathbb{R}</math> responde com uma coordenada no [[contradomínio]] em <math>\mathbb{R}^n</math>. Esta coordenada é (cosx,senx)).
é derivável e
:<math>(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).</math>
De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à [[Função monótona|monotonia]] de funções.

==Diferenciabilidade==
===Derivabilidade num ponto===
* Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math> e seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em '''R''' derivável em <math>a</math>. Então <math>f</math> é [[função contínua|contínua]] em <math>a</math>. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
* Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math> e sejam <math>f</math> e <math>g</math> funções de <math>I</math> em '''R''' deriváveis em <math>a</math>. Então as funções <math>f</math> ± <math>g</math>, <math>f.g</math> e (caso <math>g(a)</math> ≠ <math>0</math>) <math>f/g</math> também são deriváveis em <math>a</math> e:
** <math>(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)</math>
** <math>(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)</math>
** <math>(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}</math>
Em particular, se <math>c</math> ∈ '''R''', então <math>(c.f)'=c.f'</math>. Resulta daqui e de se ter <math>(f+g)'=f'+g'</math> que a derivação é uma [[Transformação linear|aplicação linear]].
* Sejam <math>I</math> e <math>J</math> intervalos de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math>, seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em <math>J</math> derivável em <math>a</math> e seja seja <math>g</math> uma função de <math>J</math> em '''R''' derivável em <math>f(a)</math>. Então <math>g</math> o <math>f</math> é derivável em <math>a</math> e
:<math>(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)</math>.
Esta propriedade é conhecida por [[regra da cadeia]].
* Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, seja <math>a</math> ∈ <math>I</math> e seja <math>f</math> uma função contínua de <math>I</math> em '''R''' derivável em <math>a</math> com derivada não nula. Então a [[função inversa]] <math>f^{-1}</math> é derivável em <math>f(a)</math> e
:<math>(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot</math>
Outra maneira de formular este resultado é: se <math>a</math> está na imagem de <math>f</math> e se <math>f</math> for derivável em <math>f^{-1}(a)</math> com derivada não nula, então
:<math>(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot</math>

Assim, por exemplo, se considerarmos a função ''f'' de '''R''' em '''R''' definida por ''f''(''x'') = ''x''² + ''x'' − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, ''f''(''x'') − ''f''(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,''f''(0)) mais perto estará este de ser linear.

[[Ficheiro:Differentiable function.png|center|thumb|400px|Gráfico de uma função derivável.]]

Em contrapartida, a função [[valor absoluto|módulo]] de '''R''' em '''R''' não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

[[Ficheiro:Module.png|center|thumb|190px|Gráfico da função módulo, que não é derivável em <math>0</math>.]]

===Derivabilidade em todo o domínio===
Diz-se que ''f'' é ''derivável'' ou ''diferenciável'' se o for em todos os pontos do domínio.
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|Uma função diferenciável]]
* Uma função derivável <math>f</math> de <math>I</math> em '''R''' é constante se e só se a derivada for igual a <math>0</math> em todos os pontos. Isto é uma consequência do [[Teorema do valor médio|teorema da média]].
* Uma função derivável <math>f</math> de <math>I</math> em '''R''' é [[Função monótona|crescente]] se e só se a derivada for maior ou igual a <math>0</math> em todos os pontos. Isto também é uma consequência do [[Teorema do valor médio|teorema da média]].
Uma função cuja derivada seja sempre maior que <math>0</math> é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor <math>0</math> em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=x^3</math>. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.
* Se <math>f</math> for uma função derivável de <math>I</math> em '''R''', sendo <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto, então <math>f'(I)</math> também é um intervalo de '''R'''. Outra maneira de formular este resultado é: se <math>f</math> for uma função derivável de <math>[a,b]</math> em '''R''' e se <math>y</math> for um número real situado entre <math>f'(a)</math> e <math>f'(b)</math> (isto é, <math>f'(a)</math> ≤ <math>y</math> ≤ <math>f'(b)</math> ou <math>f'(a)</math> ≥ <math>y</math> ≥ <math>f'(b)</math>), então existe algum <math>c</math> ∈ <math>[a,b]</math> tal que <math>f'(c)=y</math>. Este resultado é conhecido por [[teorema de Darboux]].
=== Funções continuamente deriváveis ===
Seja <math>I</math> um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto e seja <math>f</math> uma função de <math>I</math> em '''R'''. Diz-se que <math>f</math> é ''continuamente derivável'' ou ''de classe <math>C^1</math>'' se <math>f</math> for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é
:<math>\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}</math>
pois o limite <math>\lim_{x\rightarrow0}f'(x)</math> não existe; em particular, ''f' '' não é contínua em <math>0</math>.

===Derivadas de ordem superior===
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de ''x'' e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a ''segunda derivada'' da função ''f''. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de ''terceira derivada'' e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de ''f'' por:
:<math>\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)</math>
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:
:<math>\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}</math>
ou alternativamente,
:<math>f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)</math>
ou ainda
:<math>f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)</math>

Se, para algum ''k'' ∈ '''N''', ''f'' for ''k'' vezes derivável e, além disso, ''f''(''k'') for uma função contínua, diz-se que ''f'' é ''de classe ''Ck''.

Se a função ''f'' tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que ''f'' é ''infinitamente derivável'' ou ''indefinidamente derivável'' ou ainda ''de classe ''C''∞.

==Exemplos==
Se <math>c</math> ∈ '''R''', a função <math>f</math> de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=c</math> é derivável em todos os pontos de '''R''' e a sua derivada é igual a <math>0</math> em todos os pontos, pois, para cada <math>a</math> ∈ '''R''':
:<math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de '''R''' em '''R''' por <math>\phi_a(x)=0</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
:<math>c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=0</math>.

A função <math>f</math> de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=x</math> é derivável em todos os pontos de '''R''' e a sua derivada é igual a <math>1</math> em todos os pontos, pois, para cada <math>a</math> ∈ '''R''':
:<math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de '''R''' em '''R''' por <math>\phi_a(x)=1</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
:<math>x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=1</math>.

A função <math>f</math> de '''R''' em '''R''' definida por <math>f(x)=x^2</math> é derivável em todos os pontos de '''R''' e a sua derivada no ponto <math>a</math> ∈ '''R''' é igual a <math>2a</math>, pois:
:<math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a</math>.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir <math>\phi_a</math> de '''R''' em '''R''' por <math>\phi_a(x)=x+a</math>, então <math>\phi_a</math> é contínua e, para cada <math>x</math> e cada <math>a</math> reais, tem-se
:<math>x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a)</math>;
além disso, <math>f'(a)=\phi_a(a)=2a</math>.

A função [[valor absoluto|módulo]] de '''R''' em '''R''' não é derivável em <math>0</math> pois
:<math>(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}</math>
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de '''R''': a derivada em <math>a</math> é igual a <math>1</math> quando <math>a>0</math> e é igual a <math>-1</math> quando <math>a<0</math>.
== Pontos críticos, estacionários ou singulares ==
{{Artigo principal|[[Ponto crítico (funções)|Ponto crítico]]}}
Pontos onde a derivada da função é igual a <math>0</math> chamam-se normalmente de ''pontos críticos''. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos <math>x</math>. Estes pontos podem acontecer:
# onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados ''máximos locais'' da função
# onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de ''mínimos locais'' da função
# em ''pontos de inflexão'' (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função <math>f(x)=x^3</math>: no ponto <math>x=0</math> a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
# em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função <math>f(x) = x^3 sin(1/x)</math>
# em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a [[função constante]]. Um exemplo típico é a função ''f(x) = |x + 1| + |x - 1|'' no ponto ''x=0''.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar [[gráfico de uma função|gráficos de funções]].

== Derivadas notáveis ==
{{AP|Tabela de derivadas}}
Alguns exemplos de derivadas notáveis são as funções [[função exponencial|exponencial]], cuja derivada é ela própria, ou seja,<math>\exp'=\exp</math>, e [[logaritmo|logarítmica]], pois, para cada <math>x>0</math>, <math>\log'(x)=1/x</math>, onde <math>\log</math> é o [[logaritmo natural]]). Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade <math>\exp'=\exp</math> e da [[Derivada#Derivabilidade num ponto|fórmula para a derivada da inversa]] que <math>(\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot</math>
Reciprocamente, se se suposer que, para cada <math>x>0</math>, <math>\log'(x)=1/x</math>, então <math>\exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).</math>

Também são notáveis as derivadas das [[funções trigonométricas]] e das [[Funções trigonométricas inversas]]. Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a [[Derivada#Derivabilidade num ponto|fórmula para a derivada da inversa]] e a [[Trigonometria#Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários|fórmula fundamental da trigonometria]].

==Funções de uma variável complexa==
Se ''A'' for um conjunto de números complexos, se ''f'' for uma função de ''A'' em '''C''' e se ''a'' for um ponto não isolado de ''A'' (isto é, se tão perto quanto se queira de ''a'' houver outros elementos de ''A''), então as duas definições da derivada de ''f'' no ponto ''a'' continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à [[Função monótona|monotonia]] de funções.

==Física==
Uma das mais importantes aplicações da [[Análise matemática|Análise]] à [[Física]] (senão a mais importante), é o conceito de '''derivada temporal''' — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição ''s'' de um objecto são importantes na física newtoniana:
*[[Velocidade]] (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) ''v'' é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
*[[Aceleração]] ''a'' é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
:<math>\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}</math>
Por exemplo, se a posição de um objecto é ''s''(''t'') = −16''t''² + 16''t'' + 32, então a velocidade do objecto é ''s''′(''t'') = −32''t'' + 16 e a aceleração do objecto é ''s''′′(''t'') = −32.
Uma forma de enunciar a segunda lei de [[Newton]] é ''F'' = ''dp''/''dt'' , sendo ''p'' o [[Quantidade de movimento linear|momento linear]] do objecto.

==Derivadas parciais==
{{Artigo principal|[[Derivada parcial]]}}
Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de '''[[derivada parcial]]'''. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo.
Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂''z''/∂''x'', sendo ''x'' a variável fixada sobre uma função em ''z''.

== Derivadas fracionárias ==
{{Artigo principal|[[Derivada fracionária]]}}
Embora para a maioria dos profissionais de exatas obter uma derivada meiésima pareça procedimento metafísico, o estudo das [[derivada fracionária|derivadas fracionárias]] é tão antigo quanto a própria história do [[cálculo diferencial]].
A sugestão do [[Derivada fracionária|cálculo fracionário]] surgiu da notação que veio a se tornar a mais empregada:
:<math>\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3},\quad ...</math>
Essa notação, denominada [[notação de Leibniz]], foi criada por [[Leibniz]] em 1695. O assunto aparece explicitamente pela primeira vez em uma carta do Marquês de St. Mesme ([[l'Hôpital|L'Hospital]]) endereçada a [[Leibniz]].
Uma primeira aplicação do cálculo fracionário foi a solução do problema da [[Curva Tautocrônica]], proposto por [[Niels Henrik Abel]] em 1820 e trabalhado por [[Dirichlet]] em 1840/1841.
Existem aplicações das derivadas fracionárias no estudo de materiais com memória, fenômenos de difusão, epidemologia, vibrações mecânicas, etc.
{{Referências}}
* Agudo, F. R. Dias, ''Análise Real'' (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
* Ostrowski, A., ''Lições de Cálculo Diferencial e Integral'' (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
* Ricieri, A. P., ''Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos'', Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

==Ligações externas==
*{{Link||2=http://www.reidaderivada.com |3=Rei da Derivada - Torneio inventado pelo prof. Ricardo Fragelli para ensino de derivadas}}
*{{Link|pt|2=http://www.dme.ufcg.edu.br/sites_pessoais/professores/Marco/trigono.pdf |3=Cálculo diferencial para funções trigonométricas}}
*{{Link|pt|2=http://www.ppgem.ct.utfpr.edu.br/ppgem/dissertacoes/CECCON,%20Estevan%20Rodrigo.pdf |3=tese de Engenharia Mecânica aplicando derivadas fracionárias}}
*{{Link|pt|2=http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-47442005000200011 |3=Equações generalizadas de difusão (aplica derivadas parciais fracionárias)}}

== Ver também ==
*[[Cálculo|Cálculo Diferencial e Integral]]
*[[Cálculo Fracionário]]
*[[Derivada simétrica]], [[Diferenciação automática]], [[Diferenciação numérica]]
*[[Diferintegral]]
*[[Função suave|Classe de diferenciabilidade]]
*[[Linearização]]
*[[Tabela de derivadas]]
*[[Técnicas para diferenciação]]

{{Funções}}
{{Análise}}

{{DEFAULTSORT:Derivada}}
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Derivadas| ]]
[[Categoria:Cálculo diferencial]]
[[Categoria:Funções matemáticas]]

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{{Link FA|mk}}

Derivada - Histórico de revisões

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