Mostrar código-fonte de Teorema fundamental do cálculo

{{Reciclagem|data=Fevereiro de 2008}}
{{Cálculo}}
O '''teorema fundamental do cálculo''' é a base das duas operações centrais do [[cálculo]], [[derivada|diferenciação]] e [[integral|integração]], que são considerados como inversos um do outro. Isto significa que se uma [[função contínua]] é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma consequencia importante disto, às vezes chamada de [[Teorema fundamental do cálculo#Parte II|segundo teorema fundamental do cálculo]], permite computar integrais utilizando a [[antiderivada]] da função a ser integrada. Em seu livro de 2003 (pág.393), James Stewart credita a idéia que conduziu ao teorema fundamental ao [[matemático]] inglês [[Isaac Barrow]] apesar da primeira prova conhecida deste teorema ser reconhecida ao matemático escocês [[James Gregory]].

O '''teorema fundamental do cálculo''' estabelece a importante conexão entre o [[Cálculo Diferencial]] e o [[Cálculo Integral]]. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.

Barrow, [[professor]] de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram [[Newton]] e [[Leibniz]], independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.

Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a primitiva da função envolvida.

O teorema afirma que se <math>I</math> for um intervalo de '''R''' com mais do que um ponto e se <math>f</math> for uma função contínua de <math>I</math> em '''R''', então, para cada <math>a</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>I</math> a função <math>F</math> de <math>I</math> em '''R''' definida por

:<math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math>

é derivável e a sua derivada é precisamente a função <math>f</math>. Por outras palavras, <math>F</math> é uma primitiva de <math>f</math>.

== Intuição ==
Intuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações [[infinitesimais]] em uma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a variação líquida naquela quantidade.

Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma partícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por ''x''(''t'') onde ''t'' é o tempo. A derivada desta função é igual a variação infinitesimal em ''x'' pela variação infinitesimal do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir esta variação na distância com o tempo como a velocidade ''v'' da partícula. Na [[notação de Leibniz]]:

:<math>\frac{dx}{dt} = v(t) </math>

Rearranjando a equação, fica claro que:

:<math>dx = v(t)\,dt </math>

Pela lógica acima, uma variação em ''x'', chamada <math>\Delta x</math>, é a soma das variações infinitesimais ''dx''. Que também se iguala à soma dos infinitesimais produtos da derivada e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permite recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, esta operação funciona como inversa já que podemos diferenciar o resultado de nossa integral para recuperar a função velocidade.

== Formalização ==
Formalmente, o teorema diz o seguinte:

Considere ''f'' uma '''função contínua''' de valores reais, definida em um intervalo fechado [''a'', ''b'']. Se ''F'' for a função definida para ''x'' em [''a'', ''b''] por
:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math>
então
:<math>F'(x) = f(x)\,</math>
para todo ''x'' em [''a'', ''b''].

Considere ''f'' uma função contínua de valores reais, definida em um intervalo fechado [''a'', ''b'']. Se ''F'' é uma função tal que
:<math>f(x) = F'(x)\,</math> para todo ''x'' em [''a'', ''b'']
então
:<math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>.

=== Corolário ===

Considere ''f'' uma função contínua de valores reais, definida em um intervalo fechado [''a'', ''b'']. Se ''F'' é uma função tal que
:<math>f(x) = F'(x)\,</math> para todo ''x'' em [''a'', ''b'']
então
:<math>F(x) = \int_a^x f(t) dt + F(a)</math>
e
:<math>f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt</math>.

== Prova ==
=== Parte I ===
É dado que
:<math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt</math>

Considere dois números ''x''<sub>1</sub> e ''x''<sub>1</sub> + Δ''x'' em [''a'', ''b'']. Então temos
:<math>F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) dt</math>
e
:<math>F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt</math>.

Subtraindo as duas equações
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt \qquad (1)</math>.

Pode ser mostrado que
:<math>\int_{a}^{x_1} f(t) dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt </math>.
:(A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual à área das duas regiões combinadas.)
Manipulando esta equação obtemos
:<math>\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt </math>.

Substituindo a equação acima em (1) resulta em
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt \qquad (2)</math>.

De acordo com o [[teorema do valor médio]] para a integração, existe um ''c'' em [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''] tal que
:<math>\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \Delta x </math>.

Substituindo a equação acima em (2) temos que
:<math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,</math>.

Dividindo ambos os lados por Δ''x'' temos
:<math>\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c) </math>.
:Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o [[coeficiente diferencial]] de Newton para ''F'' em ''x''<sub>1</sub>.

Considere o limite com Δ''x'' → 0 em ambos lados da equação.
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) </math>

A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de ''F'' em ''x''<sub>1</sub>.
:<math>F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) \qquad (3) </math>.

Para encontrar o outro limite, usaremos o [[teorema do sanduíche]]. O número ''c'' está no intervalo [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''], então ''x''<sub>1</sub> ≤ ''c'' ≤ ''x''<sub>1</sub> + Δ''x''.

Também, <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1</math> e <math>\lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1</math>.

Assim, de acordo com o [[teorema do sanduíche]],
:<math>\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1</math>.

Substituindo em (3), temos
:<math>F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)</math>.

A função ''f'' é contínua em ''c'', então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos
:<math>F'(x_1) = f(x_1) \,</math>.
que completa a prova.

<small>(Leithold et al, 1996)</small>

=== Parte II ===
Esta é uma prova limite por [[Integral de Riemann|Soma de Riemann]]. É algumas vezes tratada como o '''segundo teorema fundamental do cálculo''' <ref name="Apostol">[[Tom Mike Apostol|Apostol, Tom M.]] (1967), '''Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra''' (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-00005-1 .</ref> ou axioma de Newton-Leibniz.

Considere ''f'' contínua no intervalo [''a'', ''b''], e ''F'' a antiderivada de ''f''. Comece com a quantidade
:<math>F(b) - F(a)\,</math>.

Considere os números ''x''<sub>1</sub> a ''x''<sub>''n''</sub> tal que <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b</math>. Que leva a
:<math>F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,</math>.

Agora, somamos cada ''F''(''x''<sub>''i''</sub>) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a quantidade resultante é igual:
:<math>\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \, \end{matrix}</math>

A quantidade acima pode ser escrita como a seguinte soma:
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})] \qquad (1)</math>

Aqui, aplicamos o [[teorema do valor médio]]. Como anteriormente, é o seguinte:

Considere ''f'' contínua no intervalo fechado [''a'', ''b''] e diferenciável no intervalo aberto (''a'', ''b''). Então existe um ''c'' em (''a'', ''b'') tal que
:<math>f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>.

Segue que
:<math>f'(c)(b - a) = f(b) - f(a) \,</math>.

A função ''F'' é diferenciável no intervalo [''a'', ''b'']; logo, ela é também diferenciável em cada intervalo ''x''<sub>''i''-1</sub>. Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima),
:<math>F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,</math>.

Substituindo a equação acima em (1), temos
:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]</math>.

Esta consideração implica que <math>F'(c_i) = f(c_i)</math>. Também, <math>x_i - x_{i-1}</math> pode ser expressado como <math>\Delta x</math> de partição <math>i</math>.

:<math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)] \qquad (2)</math>

[[Ficheiro:Riemann integral irregular.gif|right|frame|Uma sequência convergente de somas de Riemann. O número na parte superior é a soma das áreas dos retângulos azuis. O valor converge para o integral da função.]]

Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do [[teorema do valor médio]], descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também que <math>\Delta x_i</math> não precisa ser o mesmo para qualquer valor de <math>i</math>, ou em outras palavras que as larguras dos retângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da curva com <math>n</math> retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e <math>n</math> aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço, chegaremos mais e mais perto da real área da curva.

Tomando-se o limite da expressão com a norma das partições tendendo a zero, chegamos na [[Integral de Riemann]]. Que quando, tomamos o limite quando a mais larga das partições aproxima-se de zero em tamanho, então temos que todas as outras partições são menores e o número de partições se aproxima do infinito.

Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resulta
:<math>\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]\,dx</math>

Nem ''F''(''b'') nem ''F''(''a'') são dependentes de ||Δ||, então o limite do lado esquerdo fica ''F''(''b'') - ''F''(''a'').
:<math>F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]</math>

A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de ''f'' de ''a'' até ''b''.
Logo, obtemos
:<math>F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx</math>
que completa a prova.

== Exemplos ==
Como um exemplo, suponha que precisamos calcular

:<math>\int_2^5 x^2\, dx </math>
 
Aqui, <math>f(x) = x^2</math> e podemos usar <math>F(x) = (1/3) x^3</math> como a antiderivada.
Logo:

:<math>\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.</math>

== Generalizações ==
Não precisamos assumir a continuidade de ''f'' em toda a extensão do intervalo. A Parte I do teorema diz que: se ''f'' é uma função [[integral de Lebesgue]] qualquer em <math>[a, b]</math> e <math>x_0</math> é um número em <math>[a, b]</math> tal que <math>f</math> é contínuo em <math>x_0</math>, então

:<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math>

é diferenciável para <math>x = x_0</math> com <math>F'(x_0) = f(x_0)</math>. Podemos tirar ainda mais restrições de ''f'' e supor que ela é pelo menos localmente integrável. Neste caso, podemos concluir que a função ''F'' é diferenciável [[quase em toda sua extensão]] e ''F'(x)=f(x)'' em quase toda sua extensão. Isto é geralmente conhecido como '''Teorema da diferenciação de Lebesgue'''.

A Parte II do teorema é verdadeira para qualquer função integral de Lebesgue ''f'' que possui uma antiderivada ''F'' (nem todas a funções integrais possuem, entretanto).

A versão do [[teorema de Taylor]] que expressa o termo erro como uma integral pode ser visto como uma generalização do teorema fundamental.

Há uma versão do teorema para funções de [[números complexos]]: suponha que ''U'' é um conjunto aberto em '''C''' e ''f'': ''U'' <tt>-></tt> '''C''' é uma função que tem uma antiderivada [[holomórfica]] ''F'' em ''U''. Então para cada curva γ : [''a'', ''b''] <tt>-></tt> ''U'', a [[curva integral]] pode ser computada como

:<math>\oint_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)).</math>

O teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais em maiores dimensões e em [[manifold]]s. 

E a mais poderosa declaração nesta direção é o [[Teorema de Stokes]].

==Referências==
<references/>
*Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In ''Calculus: early transcendentals''. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
*Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. ''Calculus of a single variable''. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
*Leithold, L. (1996). ''The calculus 7 of a single variable''. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
*A Malet, ''Studies on James Gregorie (1638-1675)'' (PhD Thesis, Princeton, 1989).
*H W Turnbull (ed.), ''The James Gregory Tercentenary Memorial Volume'' (London, 1939)

==Ver também==
*[[Integral paramétrica]]

==Ligações externas==
*{{Link|pt|2=http://asoares.net/archives/167// |3=Vídeo aula - Teorema Fundamental do Cálculo}}


{{Teoremas fundamentais}}
{{Análise}}

[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Teoremas de matemática|Fundamental do calcula]]

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