Mostrar código-fonte de Limite de uma função

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<div style="width:240px;" style="font-family: arial; font-size: 12px; font-weight: bold; background-color: #ffffff">
{|class="wikitable" width="100%"
!''x''!!<math>\frac{\sin x}{x}</math>
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|}
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Embora a função (sin&nbsp;''x'')/''x'' não seja definida em zero, como ''x'' torna-se mais e mais próximo a zero, (sin&nbsp;''x'')/''x'' torna-se arbitrariamente próximo a 1. Dizemos que "o limite de (sin&nbsp;''x'')/''x'' como ''x'' aproxima-se de zero iguala-se a &nbsp;1."
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Em [[matemática]], o '''limite de uma função''' é um conceito fundamental em [[cálculo]] e [[análise matemática|análise]] sobre o comportamento desta [[função (matemática)|função]] próxima a um valor particular de sua [[variável independente]]. Informalmente, uma função de uma variável ''f'' atribui uma [[Variável independente|variável dependente]] ''f(x)'' a cada variável independente ''x''. A função tem um limite ''L'' em uma variável independente ''p'' se ''f(x)'' é "próximo" a ''L'' sempre que ''x'' é "próximo" a ''p''. Em outras palavras, ''f(x)'' torna-se mais e mais próxima a ''L'' à medida que ''x'' se move mais e mais próximo a ''p''.  Mais especificamente, quando ''f'' é aplicado a cada variável independente ''suficientemente'' próximo a ''p'', o resultado é um valor de variável dependente que é ''arbitrariamente'' próximo a ''L''. Se as variávei independentes "próximas" a ''p'' são tomadas a valores que sejam muito diferentes, o limite é dito ''não existir''. O limite não existe apenas para funções de uma variável. Definições formais, primeiramente concebidas no início do século XIX, são dadas abaixo.

== História ==
Embora implícito no desenvolvimento do cálculo nos séculos XVII e XVIII, a moderna noção de limite de uma função remonta a [[Bernard Bolzano|Bolzano]] quem, em 1817, introduziu o básico da técnica [[Definição de limite (ε, δ)|epsilon-delta]] para definir funções contínuas. Entretanto, este trabalho não foi conhecido durante sua vida.<ref name="Felscher">Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", ''American Mathematical Monthly'' '''107''' (9): 844–862 .</ref> [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] discutiu limites em sua obra ''Cours d'analyse'' (1821) e forneceu essencialmente a moderna definição, mas isto não é frequentemente reconhecido porque ele somente apresenta uma definição verbal..<ref name="Grabiner">Grabiner, Judith (1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", ''American Mathematical Monthly'' '''90''' (3): 195–194 .</ref> Weierstrass introduziu a definição ''delta-epsilon'' de limite na forma que ela é usualmente escrita hoje. Também introduziu as notações '''lim''' e '''lim'''<sub>''x''→''x''<sub>0</sub></sub> .<ref name="Burton">Burton, David M. (1997), ''The History of Mathematics: An introduction'' (Third ed.), New York: McGraw-Hill, pp. 558–559, ISBN 0-07-009465-9</ref> A moderna notação da localização da seta abaixo do símbolo de limite é devido a [[G. H. Hardy|Hardy]] em seu livro ''A Course of Pure Mathematics'' em 1908.<ref name="Miller">Miller, Jeff (1 December 2004), [http://jeff560.tripod.com/calculus.html ''Earliest Uses of Symbols of Calculus''] {{en}}</ref>

== Similaridades ==
Imagine uma pessoa caminhando sobre um terreno representado pelo gráfico de ''y'' = ''f''(''x''). Sua posição horizontal é medida pelo valor de ''x'', bem como a posição dada por um mapa do território ou sistema de posicionamento global. Sua altitude é dada pela coordenada ''y''. Está deslocando-se na direção na posição horizontal dada por ''x'' = ''p''. Como ela faz isso, percebe que se aproxima da altitude ''L''. Se mais tarde, pedir-se para adivinhar-se a altitude sobre ''x'' = ''p'', se responderia ''L'', mesmo se jamais tenha se chegado a essa posição.

Qual é, então, o significado de dizer-se que sua altitude se aproxima de ''L?'' Isto significa que sua altitude aproxima-se mais e mais de ''L'' exceto para um possível erro em precisão. Por exemplo, suponha que definir uma meta de precisão para o nosso viajante: ela deve começar dentro de dez metros de ''L''. Ela relata que na verdade pode começar dentro de dez metros de ''L'', desde que observa que, quando está dentro de cinquenta metros horizontais de ''L''. Em seguida, mudamos nossa meta de precisão: ela pode começar dentro de um metro? Sim. Se ela está dentro de sete metros horizontais de ''p'', então sua altitude permanece dentro de um metro da meta ''L''. Em suma, diz-se que a altitude do viajante aproxima-se de ''L'' como sua posição horizontal aproxima-se de ''p'' significa que para cada meta de precisão em relação ao alvo, há algum proximidade ''p'' cuja altitude permanece dentro desse objetivo precisão.

A declaração inicial informal pode agora ser explicada:

: O limite de uma função ''f''(''x'') com ''x'' aproximando-se de ''p'' é um número ''L'' com a seguinte propriedade: dada qualquer distância de meta  de ''L'', existe uma distância de ''p'' dentro dos valores de ''f''(''x'') permanecendo dentro da distância alvo.

Esta declaração explícita é bastante próxima da definição formal de limite de uma função com valores em um [[Espaço de Hausdorff|espaço topológico]].

== Definições ==
As seguintes definições (conhecidas como [[Definição de limite (ε, δ)|definições (ε, δ)]]) são as geralmente aceitas para o limite de uma função em vários contextos.

=== Funções sobre a reta real ===
Suponha-se ''f'' : '''R''' → '''R''' definida sobre a [[reta real]] e ''p,L'' ∈ '''R''' então diz-se '''o limite de ''f'' de ''x'' tendendo a ''p'' é ''L''''' e escreve-se

: <math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>

[[se e somente se]] para cada ''ε'' > ''0'' real existe um real ''δ'' > ''0'' tal que ''0'' < | ''x'' - ''p'' | < ''δ'' implica | ''f''(''x'') - ''L'' | < ''ε''.  Note-se que o valor do limite não depende do valor de ''f''(''p'').

Um definição mais geral aplica-se para funções definidas em [[subconjunto]]s da reta real.  Fazendo-se (''a'',''b'') ser um [[Intervalo (matemática)|intervalo aberto]] em '''R''', e ''p'' um ponto de (''a'',''b''). Fazendo-se ''f'' ser uma função de valores reais definida em todo (''a'', ''b'') exceto possivelmente em ''p''. Então diz-se que o limite de ''f'' de ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''L'' se e somente se, para qualquer real ''ε'' > ''0'' existe um real ''δ'' > ''0'' tal que ''0'' < | ''x'' - ''p'' | < ''δ'' e ''x'' ∈ (''a'',''b'') implica que | ''f''(''x'') - ''L'' | < ''ε''. Note-se que o limite não depende de ''f''(''p'') ser bem definida.

==== Limites unilaterais ====
[[Ficheiro:Upper semi.svg|thumb|O limite como: x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup>. Portanto, o limite como x → x<sub>0</sub> não existe.]]

Alternativamente ''x'' pode aproximar-se de ''p'' por cima (direita) ou por baixo (esquerda), caso no qual os limites podem ser escrito como

: <math> \lim_{x \to p^+}f(x) = L </math>

ou

: <math> \lim_{x \to p^-}f(x) = L </math>

respectivamente. Se ambos estes limites forem igauis a ''L'' então isto pode ser tratado como '''''o'' limite de ''f(x)'' em ''p'''''. Por outro lado, se não forem ambos iguais a ''L'' então ''o'' limite, como tal, não existe.

Uma definição formal é como segue. O limite de ''f''(''x'') de ''x'' aproximando-se de ''p'' por cima é ''L'' se, para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que |''f''(''x'') - L| < ε sempre 0 < ''x'' - ''p'' < δ.  O limite de ''f''(''x'') em ''x'' aproximando-se de ''p'' por baixo é ''L'' se, para cada ε > 0, existe um δ > 0 tal que |''f''(''x'') - L| < ε sempre 0 < ''p'' - ''x'' < δ.

Se o limite não existe existe uma [[Oscilação (matemática)|oscilação]] não nula (zero).

=== Funções em espaços métricos ===
Supondo-se que ''M'' e ''N'' sejam subconjuntos de [[Espaço métrico|espaços métricos]] ''A'' e ''B'', respectivamente, e ''f'' : ''M'' → ''N'' é definido entre ''M'' e ''N'', com ''x ∈ M,'' ''p'' um [[ponto limite]] de ''M'' e ''L'' ∈ ''N''. Diz-se que '''o limite de ''f'' em ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''L''''' e escreve-se

: <math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>

[[se e somente se]] para cada ε > 0 existe um δ > 0 tal que, d<sub>''B''</sub>(''f''(''x''), ''L'') < ε sempre 0 < d<sub>''A''</sub>(''x'', ''p'') < δ. Novamente, note-se que ''p'' necessita não estar no domínio de ''f'', nem ''L'' necessita estar na abrangência de ''f''.

Uma definição alternativa usando o conceito de [[vizinhança]] é a seguinte:

: <math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>

[[se e somente se]] para cada vizinhança ''V'' de ''L'' em ''B'' existe uma vizinhança ''U'' de ''p'' em ''A'', tal que ''f(U∩M - {p}) ⊆ V''.

=== Funções em espaços topológicos ===
Supondo-se que ''X,Y'' são [[Espaço topológico|espaços topológicos]] com ''Y'' um [[espaço de Hausdorff]]. Fazendo-se ''p'' ser um [[ponto limite]] de Ω⊆''X'', e ''L'' ∈''Y''. Para uma função ''f'' : Ω → ''Y'', diz-se que o '''limite de ''f'' em ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''L''''' (''i.e.'', ''f(x)''→''L'' com ''x''→''p'') e escreve-se

: <math> \lim_{x \to p}f(x) = L </math>

se e somente se para cada [[vizinhança]] aberta ''V'' de ''L'', existe uma vizinhança aberta ''U'' de ''p'' tal que ''f''(''U''∩Ω- {''p''}) ⊆ ''V''. Esta última parte da definição pode também ser escrita "existe uma [[Vizinhança|vizinhança descontínua]] aberta ''U'' de ''p'' tal que ''f''(''U''∩Ω) ⊆ ''V'' ".

Note-se que o domínio de ''f'' não necessita conter ''p''. Se contém, então o valor de ''f'' em ''p'' é irrelevante para a definição do limite. Em particular, se o domínio de ''f'' é ''X'' - {''p''} (para todo ''X''), então o limite de ''f'' em ''x'' → ''p'' existe e é igual a ''L'' se e somente se para todos subconjuntos Ω de ''X'' com ponto limite ''p'' o limite da estrição de ''f'' a Ω existe e é igaul a ''L''. algumas vezes este critério é usado para estabelecer a ''não existência'' do limite de ambos os lados de uma função em '''R''' por mostrar que os [[limite unilateral|limites unilaterais]] ou deixar de existir ou não concordam. Essa visão é fundamental na área da [[topologia geral]], onde limites e continuidade em um ponto são definidos em termos de famílias especiais de subconjuntos, chamados [[Filtro (teoria dos conjuntos)|filtros]], ou sequências generalizadas conhecidas como [[Sequência generalizada|''nets'']].

Alternativamente, o requerimento que ''Y'' seja um espaço de Hausdorff pode ser relaxado pela suposição que ''Y'' seja um espaço topológico geral, mas então o limite de uma função não será único. Em particular, não se pode mais falar ''o limite'' de uma função em um ponto, mas ''um limite'' ou ''o conjunto de limites'' em um ponto.

Uma função é contínua em um ponto limite ''p'' de e em seu domínio e e somente se ''f(p)'' é ''o'' (ou, no caso geral, ''um'') limite de ''f(x)'' em ''x'' tendendo a ''p''.

=== Limites envolvendo infinito ===
[[Ficheiro:Limit-at-infinity-graph.png|thumb|300px|O limite desta função no infinito existe.]]

Se a [[reta dos números reais estendida|reta dos números reais]] <span style="text-decoration: overline">'''R'''</span> é considerada, ''i.e.'', '''R'''&nbsp;∪&nbsp;{-∞, ∞}, então é possível definir limites de uma função no infinito.

Se ''f''(''x'') é uma função real, então '''o limite de ''f'' em ''x'' aproximando-se do infinito é ''L''''', denotado

: <math> \lim_{x \to \infty}f(x) = L,</math>

[[se e somente se]] para todo <math>\epsilon > 0</math> existe ''S'' > 0 tal que
<math>|f(x) - L| < \epsilon</math> sempre ''x > S''.

Similarmente, '''o limite de ''f'' em ''x'' aproximando-se do infinito negativo é ''L''''', denotado

: <math> \lim_{x \to -\infty}f(x) = L,</math>

se e somente se para todo <math>\epsilon > 0</math> existe ''S'' < 0 tal que <math>|f(x) - L| < \epsilon</math> sempre ''x&nbsp;<&nbsp;S''.

Por exemplo

: <math> \lim_{x \to -\infty}e^x = 0.</math>

Limites também podem ter valores infinitos, por exemplo '''o limite de ''f'' em ''x'' aproximando-se de ''a'' é infinito''', denotado

: <math> \lim_{x \to a}f(x) = \infty,</math>

se e somente se para todo <math>S > 0</math> existe <math>\delta > 0</math> tal que
<math>f(x) > S</math> sempre <math>|x - a| < \delta</math>.

Estas ideias podem ser combinadas em um meio óbvio para produzir definições para diferentes combinações, tais como

: <math> \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty, \lim_{x \to a^+}f(x) = -\infty.</math>

Por exemplo

: <math>\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty.</math>

Limites envolvendo infinito são conectados com o conceito de [[assímptota]]s.

Essas noções de um limite tentam fornecer uma interpretação espacial métrica para limites no infinito. Entretanto, note-se que estas noções de um limite são consistentes com a definição de espaço topológico de limite se

* uma vizinhança de -∞ é definida para conter um [[Intervalo (matemática)|intervalo]] [-∞,&nbsp;''c'') onde ''c''∈''R''
* uma vizinhança de ∞ é definida para conter um intervalo (''c'',&nbsp;∞] onde ''c''∈''R''
* uma vizinhança de ''a''∈''R'' é definido da forma habitual de espaço métrico ''R''

Neste caso, <span style="text-decoration: overline">'''R'''</span> é um espaço topológico e qualquer função da forma ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' com ''X'',&nbsp;''Y''⊆&nbsp;<span style="text-decoration: overline">'''R'''</span> é sujeito à definição topológica de um limite. Note-se que com esta definição topológica, é fácil de definir limites infinitos em pontos finitos, que não tenham sido definidos acima, no sentido métrico.

==== Notação alternativa ====
Muitos autores<ref>Por exemplo, [http://eom.springer.de/L/l058820.htm "Limit" na ''Encyclopaedia of Mathematics'']</ref> permitir a  [[reta real projetiva]] a ser usada como um meio de inclui valores infinitos assim como a reta real estendida. Com esta notação, a reta real estendida é dada como '''R'''&nbsp;∪&nbsp;{-∞,&nbsp;+∞} e a reta real projetiva é '''R'''&nbsp;∪&nbsp;{∞} onde uma vizinhança de ∞ é o conjunto da forma {''x'':&nbsp;|''x''|>''c''}. Nesta notação, por exemplo,

: <math>\lim_{x \to 0}{1\over x} = \infty, \lim_{x \to \infty}{1\over x} = 0.</math>

==== Avaliando limites no infinito para funções racionais ====
[[Ficheiro:Tamasol.PNG|thumb|300px|Assímptota horizontal sobre y= 4.]]

Existe, três regras básicas para a avaliação de limites no infinito para uma função racional ''f(x) = p(x)/q(x):''

* Se o grau de ''p'' é maior que o grau de ''q'', então limite é infinito positivo ou negativo dependendo dos sinais dos coeficientes;
* Se o grau de ''p'' e ''q'' são iguais, o limite é o coeficiente de ''p'' dividido pelo coeficiente de ''q'';
* Se o grau de ''p'' é menor que o grau de ''q'', o limite é 0.

Se o limite no infinito existe, representa um assímptota horizontal em ''y = L''. Polinômios não possuem assímptotas horizontais; elas podem ocorrer com funções racionais.

=== Funções de valores complexos ===
O [[Número complexo|plano complexo]] com métrica <math>d(x, y) := |x-y|</math> é também espaço métrico. Existem dois tipos diferentes de limites quando sondideram-se funções de valores complexos.

==== Limite de uma função em um ponto ====
Se ''f'' é uma função de valores complexos, então

: <math> \lim_{x \to p} f(x) = L </math>

se e somente se para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que para todos números reais ''x'' com <math>0 < |x - p| < \delta</math>, tem-se <math>|f(x) - L| < \epsilon</math>.

É somente um caso particular de funções sobre espaços métricos em que tanto ''M'' e ''N'' estão no palno complexo.

=== Limite de uma função com mais de uma variável ===
Por notar-se que |''x''-''p''| representa uma distância, a definição de um limite pode ser estendida a funções de mais de uma variável. No caso de uma função ''f'' : '''R'''² → '''R''',

: <math> \lim_{(x,y) \to (p, q)} f(x, y) = L </math>
[[se e somente se]]

: para cada &epsilon; > 0 existe um &delta; > 0 tal que para todo ''(x,y)'' com 0 < ||''(x,y)''-''(p,q)''|| < &delta;, tem-se |''f''(''x'',''y'')-''L''| < &epsilon;

onde ||''(x,y)''-''(p,q)''|| representa a [[distância euclidiana]].

Em linguagem simbólica<ref>STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2007. 5ª edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 900.</ref>:

<math> \lim_{(x,y) \to (p, q)} f(x, y) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in D\;\wedge 0 < \| (x,y) - (p,q) \| < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x, y) - L| < \epsilon</math>

A condição 0 < ||''(x,y)''-''(p,q)''|| obriga ''(x,y)'' a ser diferente de ''(p,q)''.

Isto pode ser estendido a qualquer número de variáveis.

=== Limites sequenciais ===
Fazendo-se ''f'' : ''X'' → ''Y'' ser uma função de um espaço topológico ''X'' em um espaço de Hausdorff ''Y'', ''p''∈''X'' e ''L''∈''Y''.

: O '''limite sequencial''' de ''f'' de ''x''&rarr;''p'' é ''L'' se e somente se, para cada [[Sequência matemática|sequência]] (''x''<sub>n</sub>) em ''X'' a qual [[Limite de uma sequência|converge]] a ''p'', a sequência ''f''(''x''<sub>n</sub>) [[Limite de uma sequência|converge]] a ''L''.

Se ''L'' é o limite (no sentido acima) de ''f'' de ''x'' aproximando-se de ''p'', então é um limite seqüencial, igualmente, no entanto, o inverso não precisa ser verdadeiro em geral. Se em adição ''Y'' é [[Teorema da metrização|metrizável]], então ''L'' é o limite sequencial de ''f'' de ''x'' aproximando-se de ''p'' se e somente se é o limite (no sentido acima) de ''f'' de ''x'' aproximando-se de ''p''.

== Exemplo ==
Tomando-se a função <math>f(x)=\frac{1}{2^x}</math> onde ''x'' é um inteiro não negativo. Quando ''x'' é sistematicamente substituído por valores consecutivos ao longo da reta natural, tem-se um padrão emergindo:

: <math>f(0)=\frac{1}{2^0}=\frac{1}{1}=1</math>
: <math>f(1)=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}</math>
: <math>f(2)=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}</math>
: <math>f(3)=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}</math>
: <math>f(4)=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16} \cdot</math>

Quando ''x'' é substituído por um valor significativamente grande, vê-se que ''ƒ''(''x'')&nbsp;≈ 0, como o valor fracional da função tornar-se extremamente pequeno:

: <math>f(20)=\frac{1}{2^{20}}=\frac{1}{1,048,576}\approx0</math>
: <math>f(50)=\frac{1}{2^{50}}\approx0.</math>

Como ''x'' torna-se maior, ''ƒ''(''x'') aproxima-se 0. Este é denotado:&nbsp; <math> \lim_{x \to \infty}f(x) = 0.</math>

== Propriedades ==
Se os conjuntos A, B, … forma uma partição finita do domínio de uma função, <math>x\in\overline{A} \land x\in\overline{B}</math>, … e o limite relativa para cada um destes conjuntos existe e é igual a, diz-se, L, então o limite existe para o ponto x e é igual a L.

Em particular, se ''f'' produz valores reais, então o limite de ''f'' em ''p'' é ''L'' se e somente se tanto no limite do lado esquerdo quanto do lado direito de ''f'' e ''p'' existem e são iguais a ''L''.

A função ''f'' é [[Função contínua|contínua]] em ''p'' se e somente se o limite de ''f''(''x'') de ''x'' aproximando-se de ''p'' existe e é igual a ''f''(''p'').

Se ''f'' : ''M'' → ''N'' é uma função entre espaços métricos ''M'' e ''N'', então é equivalente que ''f'' transforma-se cada sequência em ''M'' a qual converge para ''p'' em uma sequência em ''N'' que converge para ''f''(''p'').

Se ''N'' é um [[Espaço normado|espaço vetorial normado]], então a operação limite é linear no seguinte sentido: se o limte de ''f''(''x'') de ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''L'' e o limite de ''g''(''x'') de ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''P'', então o limite de ''f''(''x'') + g(''x'') de ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''L'' + ''P''. Se ''a'' é um escalar do [[Corpo (matemática)|corpo]] base, então o limite de ''af''(''x'') de ''x'' aproximando-se de ''p'' é ''aL''.

Se ''f'' é uma função que resulta valores reais (ou complexos), então tomando-se o limite é compatível com operações algébricas, ''provê'' os limites sobre os lados ''direitos'' das equações abaixo existem (a última identidad sustenta-se se o denominador é não nulo). Este fato é frequentemente chamado '''teorema do limite algébrico'''.

: <math>\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)/g(x)) & = & {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)}
\end{matrix}</math>

Em cada caso acima, quando os limites à direita não existem, ou, no último caso, quando os limites tanto no numerador e denominador são zero, a vizinhança do limite à esquerda, chamada uma ''forma indeterminada'', ainda podem existir—isto depende das funções ''f'' e ''g''. Estas regras são também válidas para limites unilaterais, para o caso ''p'' = ±∞, e também para limites infinitos usando-se as regras

* ''q'' + ∞ = ∞ para ''q'' ≠ &minus;∞
* ''q'' &times; ∞ = ∞ se ''q'' > 0
* ''q'' &times; ∞ = &minus;∞ se ''q'' < 0
* ''q'' / ∞ = 0 se ''q'' ≠ ± ∞
(ver [[linha dos números reais estendida]]).

Note-se que ''não'' existe regra geral para o caso ''q'' / 0; tudo depende da forma como 0 é aproximado. [[Forma indeterminada|Formas indeterminadas]]—por exemplo, 0/0, 0&times;∞, ∞&minus;∞, e ∞/∞—não são também cobertos por estas regras, mas os limites correspondentes podem frequentemente ser determinados com a [[regra de l'Hôpital]] ou o [[teorema do confronto]].

== Identidades úteis ==
As seguintes regras são válidas se os limite do lado direito existem (e são finitos).

* <math>\lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n)</math>, onde S é um [[Multiplicação escalar|multiplicador escalar]].
* <math>\lim_{n \to c} b^{f(n)} =\displaystyle b^{\lim_{n \to c} f(n)}</math>, onde ''b'' é um número real positivo.

* Lei da soma: o limite de uma soma é a soma dos limites<ref name="calculo_4">STEWART, James. cálculo Volume I. 4ª edição. Pioneira Thomson Learning. Páginas 102 e 103.</ref>:   <math>\lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)</math>

* Lei da diferença: o limite de uma diferença é a diferença dos seus limites<ref name="calculo_4" />:   <math>\lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)</math>

* Lei do produto: o limite de um produto é o produto dos limites <ref name="calculo_4" />: <math>\lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)</math>
**Donde se deduz também que <math>\lim_{n \to c} f(n)^n = </math> <math> [\lim_{n \to c} f(n)]^n </math>

* Lei do quociente: o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero <ref name="calculo_4" />: <math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}</math>, se o lado direito faz sentido; ''i.e.'', os dois limites do lado direito existem, e <math>\lim_{n \to c} g(n) \ne 0</math>.

Estas regras podem falhar se qualquer dos limites do lado direito são indefinidos ou infinitos.

Por exemplo, <math>\lim_{n \to \infty} [(3n+2) + (2-3n)] = 4 </math> mas
<math>\lim_{n \to \infty} (3n+2) + \lim_{n \to \infty}(2-3n) </math> é indefinido.

=== Outros limites de interesse ===
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0</math>

O primeiro limite pode ser demonstrado com o [[teorema do confronto]]. Para 0 < x < π/2:

: <math>\sin x < x < \tan x.</math>

Dividindo cada um por sin(x) resulta

: <math>1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x}</math>
: <math>1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}</math>
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1</math>
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1</math>
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>

=== Regra de l'Hôpital (Regra de Cauchy)===
{{AP|Regra de l'Hôpital}}
Esta regra usa [[derivada]]s e tem um uso condicional. (Pode somente ser usada diretamente em limites que "igualam" 0/0 ou ±∞/±∞.
Outras [[Forma indeterminada|formas indeterminadas]] requerem alguma manipulação algébrica usualmente envolvendo estabelecer o limite igual a y, tomando o [[logaritmo natural]] de ambos os lados, e então aplicando a [[regra de l'Hôpital]].). A grande utilidade da Regra de Cauchy decorre do facto de se conseguir transformar qualquer indeterminação numa indeterminação 0/0 ou ±∞/±∞, possibilitando, depois, a sua aplicação.

* <math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to c} \frac{f'(n)}{g'(n)}</math>

Por exemplo:

<math>\lim_{n \to 0} \frac{\sin (2n)}{\sin (3n)} =
\lim_{n \to 0} \frac{2 \cos (2n)}{3 \cos (3n)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.</math>

=== Somatórios e integrais ===
Um meio rápido de escrever o limite <math>\lim_{n \to \infty} \sum_{i=s}^{n} f(i) </math>
é <math>\sum_{i=s}^{\infty} f(i)</math>.

Um meio rápido de escrever o limite <math>\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{n} f(x) \; dx </math>
é <math>\int_{a}^{\infty} f(x) \; dx</math>.

Um meio rápido de escrever o limite <math>\lim_{n \to -\infty} \int_{n}^{b} f(x) \; dx </math>
é <math>\int_{-\infty}^{b} f(x) \; dx</math>.

{{Referências}}

* Sutherland, W. A., ''Introduction to Metric and Topological Spaces.'' Oxford University Press, Oxford, 1975. ISBN 0 19 853161 3.

== Ver também ==
* [[Lista de limites]]
* [[Limite de uma sequência]]
* [[Sequência generalizada]] ou "net"
* [[Grande-O|Notação do Grande-O ou notação assimptótica]]
* [[Limite superior e limite inferior]]
* [[Regra de l'Hôpital]]
* [[Teorema do confronto]]

==Ligações externas==
*{{link|pt|2=http://www.picinfo.com.br/mathematica.php#limite2/|3=Exemplo ilustrado de limite}}
*[http://ltodi.est.ips.pt/amatos/ApontamentosExtra0708/PropLimInf0708.pdf Propriedades dos limiteds infinitos]

{{DEFAULTSORT:Limite De Uma Funcao}}
[[Categoria:Cálculo]]

[[nl:Limiet#Limiet van een functie]]