Mostrar código-fonte de Equação diferencial parcial

Um '''equação diferencial parcial''' ou '''equação de derivadas parciais''' (EDP) é uma [[equação]] envolvendo várias [[funções]] incógnita de várias variáveis independentes e dependente de suas [[derivada]]s. Estas equações surgem naturalmente em problemas de [[física matemática]], [[física]] e [[engenharia]]. O estudo das equações diferenciais parciais é uma das áreas com mais intensa pesquisa em [[matemática]], despertando interesse também em contextos de [[matemática pura]].

'''EDP'''s descrevem fenômenos físicos cujo comportamento depende da posição, tais como [[eletrostática]], [[eletrodinâmica]], [[eletromagnetismo]], [[dinâmica dos fluidos]], [[difusão]] do [[calor]], propagação de [[ondas]]. Muitas vezes, fenômenos físicos totalmente distintos podem ser modelados por '''EDP'''s idênticas.

== Exemplos ==
Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução [[função suave|suave]] <math>u(x,y):[0,1]\times[0,1]\rightarrow\mathbb{R}</math> satisfazendo:
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=1\hbox{ em }(0,1)\times(0,1) </math>

<math>\frac{\partial u}{\partial y}=0\hbox{ em }(0,1)\times(0,1) </math>

<math>u(x,y)=1\hbox{ em }\{x=0\}\times[0,1] </math>

que admite solução <math>u(x,y)=x+1</math>


O próximo exemplo é um caso particular da [[equação do transporte]]:
<math>\frac{\partial u}{\partial t}+v(t)\frac{\partial u}{\partial x} = 0, t>0 </math>
<math>u(x,t)=f(x), ~t=0</math>

onde <math>f(x)</math> é uma [[função (matemática)|função]] classe <math>C^1</math> e 

<math>v(t)</math> é uma [[função contínua]] dada e <math>u(x,t)</math> é a incógnita.

A solução desta equação é dada por:
<math>u(x,t)=f\left(x+\int_0^t v(\tau)d\tau\right), t>0 </math>

== Notação ==
Existem muitas diferentes maneiras de expressar as '''EDP'''s, não sendo raro a mesma notação ter significados diferentes para autores diferentes.

Notações bastante difundidas são para a derivada temporal são:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} =\partial_t u =u_t = u'</math>

Mais prolixas são as notações para as derivadas espaciais.

Se <math>u:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}</math>, onde <math>\mathbf{x}=\left(x_1,\ldots,x_n\right)</math> então também são usadas as notações por operadores:

<math>\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)</math>: [[Gradiente]]

<math>\nabla^2u=\triangle u = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}</math>: [[Laplaciano]]

Assim, a equação <math>T_t + \mathbf{v}\cdot \left(\nabla T\right) = \triangle T</math>, onde 

<math>\mathbf{v}</math> é um campo de vetores dado em <math>\mathbf{R}^n</math> significa:

<math>\frac{\partial T}{\partial t} + \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial T}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 T}{\partial x_i^2}</math>

Em problemas envolvendo fluxo de [[fluidos]], é constume definir a [[derivada material]]:

<math>\frac{Du}{Dt}= \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot(\nabla u)</math> onde 

<math>\mathbf{v}</math> é campo de velocidades do fluido.

==Classificações==
=== Quanto à ordem ===

A ordem de uma equação diferencial parcial será dada pela ordem da mais alta derivada encontrada na equação:

<math> \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+5 \frac{\partial u}{\partial y}+3u=0</math>
EDP de segunda ordem

=== Quanto à linearidade ===

Uma EDP linear de 2ª ordem, com 2 variáveis independentes, tem a forma:

<math>a(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2b(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+c(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+d(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+e(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+f(x,y)u=\delta (x,y)\quad\quad (1)
</math>

;Exemplos:

<math>{\partial u \over \partial t}-a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0</math>
EDP linear (Equação da difusão linear)

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x}=0
</math>

EDP linear (Equação da convecção linear)

<math>(1-u)\frac{\partial u}{\partial x}+2u=e^y</math>
EDP não linear devido ao termo não linear (1-u) dependente de u

<math>\frac{\partial u}{\partial x}+\cos{u}=0</math>
EDP nao linear devido à função não linear cos(u)
=== Quanto à homogeneidade ===
Se na equação (1), <math>\delta (x,y)=0</math>,  a EDP é homogênea.

== Classificação de EDP's de 2ª ordem ==

As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas.
Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como<ref>[http://www.demar.eel.usp.br/metodos/mat_didatico/Equacoes_diferenciais_parciais.pdf]</ref>:

<math>au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+fu=g</math>

na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que:

<math>a^2+b^2+c^2\neq 0
</math>

Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações:

*EDPs '''hiperbólicas''': <math> b^2-4ac>0 </math>, raízes reais e distintas.
*EDPs '''parabólicas''': <math> b^2-4ac=0 </math>, raízes reais e idênticas.
*EDPs '''elípticas''': <math> b^2-4ac<0 </math>, raízes conjugadas complexas.

A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:

{| border="1" cellpadding="2"
!width="225"|Nome
!width="225"|Classificação
!width="225"|Equação
|-
|Equação de Laplace ||elíptica ||<math>u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0</math>
|-
|Equação de Poisson ||elíptica ||<math>u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=c</math>
|-
|Equação de Fourier ||parabólica ||<math>\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_t=0</math>
|-
|Equação da onda ||hiperbólica ||<math>c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{tt}=0</math>
|-
|}

== Equações da física ==

=== Equação de Poisson ===
A [[equação de Poisson]] descreve o [[potencial elétrico]] em [[eletrostática]]. Também modela estados estacionários (sem variação no tempo) da [[equação do calor]].
:<math>\Delta u=f(x)</math>

=== Equação do calor ===
Se <math>T(t,x)</math> representa a temperatura num instante <math>t</math>, na posição <math>x</math> sobre uma barra, a equação de transferência de calor em uma dimensão é:

<math>
{\partial T  \over \partial t} = a {\partial^2{T} \over \partial{x^2}}
</math>

onde <math>a</math> é uma constante. A função <math>T</math> é a variável dependente, e <math>t</math> e <math>x</math> são as variáveis independentes.

=== Equação da onda ===
Uma função de onda, em duas dimensões, é uma função <math>f(x,y,t)</math> solução da equação

<math>
   {\partial^2{f} \over \partial{t^2}} =  v^2 \Bigg({\partial^2{f} \over \partial{x^2}} + {\partial^2{f} \over \partial {y^2}}\Bigg)
</math>

onde <math>v</math> é uma constante (velocidade de propagação). Neste caso, existem 3 variáveis independentes, nomeadamente, as duas coordenadas espaciais <math>x</math> e <math>y</math>, e o tempo <math>t</math>.

=== Equação de Laplace ===
O [[potencial eletrostático]] <math>V(x,y,z)</math>, numa região onde não existam cargas, verifica a equação:

<math>
    {\partial^2{V} \over \partial{x^2}} + {\partial^2{V} \over \partial{y^2}} + {\partial^2{V} \over \partial{z^2}} = 0
</math>

Os exemplos anteriores correspondem todos a equações lineares, nas quais uma
combinação linear de soluções é também solução.

=== Equação de Burgers ===
A [[equação de Burgers]] modela processos [[convecção|convectivos]] unidimensionais:

<math>u_t + \frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)u\right)^2 = f(x,t)</math>
==Resolução de equações simples==
As equações de derivadas parciais em que aparece uma única derivada, podem ser
integradas facilmente. Consideremos por exemplo a equação

<math>
  \frac {\partial^2{v}}{\partial{x^2}} = 3 y
</math>

como a segunda derivada em ordem a <math>x</math> é igual à derivada da primeira derivada
parcial em ordem a <math>x</math>, portanto, a derivada parcial <math>\partial v/\partial x</math> será igual à primitiva de <math>3 y</math>, ao longo de um percurso com <math>y</math> constante

<math>
\begin{align}
{\partial{v} \over \partial x} &= \int 3 y d x \qquad (y\;\text{constante}) \\
                &= 3 x y + f(y)
\end{align}
</math>

onde <math>f(y)</math> pode ser qualquer função arbitrária que não dependa de
<math>x</math>. 

Integrando uma segunda vez, com <math>y</math> constante, obtemos a função <math>v(x,y)</math>

<math>
  v = \frac{3}{2} y x^2 + x f(y) + g(y)
</math>

Esta solução é bastante geral, pois depende de duas funções arbitrárias <math>f</math> e
<math>g</math>. Para obter uma solução única, será necessário saber algumas condições
fronteira. As condições fronteira são tão importantes quanto a equação
diferencial para determinar a forma da solução, já que com diferentes
condições fronteira é possível obter soluções muito diversas.

==Método da [[transformada de Laplace]]==
As equações de derivadas parciais lineares com condições iniciais, podem ser
resolvidas por meio da transformada de Laplace. As condições iniciais (na
variável <math>t</math>) para uma equação de ordem <math>n</math> em <math>t</math>, consistem nos valores da função e das suas primeiras <math>n-1</math> derivadas no instante <math>t = 0</math>.<ref name=Villate>[''Equações Diferenciais e Equações de Diferenças''. Porto: Jaime E. Villate,  26 de Abril de 2011. 120 págs]. [[Creative Commons]] Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 22 julho. 2013.</ref> Se, por exemplo, a solução da equação for uma função de duas variáveis, <math>v(x,t)</math>, e a equação for de segunda ordem em <math>t</math>, as condições iniciais serão

<math>
\begin{align}
  v(x,0) &=& f(x) \\
  {\partial v \over \partial t}(x,0) &=& g(x)
\end{align}
</math>

onde <math>f</math> e <math>g</math> são duas funções de <math>x</math> dadas. A transformada de Laplace de <math>v(x,t)</math> será uma função <math>\overline{v}(x,s)</math>, definida por meio do seguinte integral

<math>
  \overline{v}(x,s) = \int_0^\infty e^{-st} v(x,t) d x
</math>

As duas condições fronteira permitem calcular as transformadas das duas
primeiras derivadas, usando a propriedade da transformada da derivada; o
resultado obtido é

<math>
\begin{align}
  &\mathcal{L}\Big\{{\partial v \over \partial t}\Big\} = s \overline{v}(x,s) - f(x)\\
  &\mathcal{L}\Big\{{\partial^2{v} \over \partial{t}}\Big\} = s^2 \overline{v}(x,s) - s f(x) - g(x) \end{align}
</math>

Como <math>x</math> e <math>t</math> são variáveis independentes, e como a transformada de Laplace foi definida em ordem a <math>t</math>, as ordem entre as derivadas em <math>x</math> e
a transformada de Laplace são independentes; por exemplo,

<math>
\begin{align}
&\mathcal{L}\Big\{{\partial v  \over \partial x}\Big\}  = {\partial \over \partial x} \mathcal{L}\big\{v(x,t)\big\} = {d\overline{v} \over dx} \\ &\mathcal{L}\Big\{{\partial^2{v} \over \partial x^2}\Big\} \mathcal{L}\big\{v(x,t)\big\} = {d\overline{v} \over dx}
\end{align}
</math>

{{Referências}}

==Ver também==
*[[Equação diferencial linear]]
*[[Equação diferencial de Bernoulli|Equação de Bernoulli]]

==Ligações externas==
*{{Link|pt|2=http://people.ufpr.br/~jcvb/online/eqdiferenciais.pdf|3=Equações Diferenciais e Equações de Diferenças,Jaime.E.Villate}}


{{Equações diferenciais}}
{{Análise}}

{{DEFAULTSORT:Equacao Diferencial}}
[[Categoria:Equações diferenciais| ]]