Mostrar código-fonte de Arquimedes

{{Info/Biografia
|nome            =Arquimedes de Siracusa 
|imagem          =Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg
|legenda         =pintura de [[Domenico Fetti]] (1620)
|data_nascimento =ca. {{dni|lang=br|||287 a.C.|si}}
|local_nascimento=[[Siracusa]], [[Sicília]], [[Magna Grécia]]
|data_morte      =ca. {{morte|lang=br|||-212|||-287}}
|local_morte     =Siracusa, Sicília, Magna Grécia
|ocupação        =[[Inventor]], [[físico]], [[Matemática|matemático]], [[Filosofia|filósofo]] e [[Engenharia|engenheiro]].
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|rodapé          =
}}
'''Arquimedes de Siracusa''' (em [[língua grega|grego]]: Ἀρχιμήδης; [[Siracusa]], [[287 a.C.]] – [[212 a.C.]]) foi um [[Matemática|matemático]], [[Física|físico]], [[Engenharia|engenheiro]], [[Invenção|inventor]], e [[Astronomia|astrônomo]] [[Grécia|grego]]. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para que seja considerado um dos principais [[Ciência|cientistas]] da [[Antiguidade Clássica]]. 

Entre suas contribuições à [[Física]], estão as fundações da [[hidrostática]] e da [[estática]], tendo descoberto a [[princípio de Arquimedes|lei do empuxo]] e a [[Alavanca|lei da alavanca]], além de muitas outras. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas para usos militar e civil, incluindo [[Arma de cerco|armas de cerco]], e a [[Parafuso de Arquimedes|bomba de parafuso]] que leva seu nome. Experimentos modernos testaram alegações de que, para defender sua cidade, Arquimedes projetou máquinas capazes de levantar navios inimigos para fora da água e colocar navios em chamas usando um conjunto de espelhos.<ref name = "death ray"/>

Arquimedes é frequentemente considerado o maior matemático da antiguidade, e um dos maiores de todos os tempos (ao lado de [[Isaac Newton|Newton]], [[Leonhard Euler|Euler]] e [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]).<ref name="Pickover2008">{{cite book|author=Clifford Pickover|title=Archimedes to Hawking:Laws of Science and the Great Minds Behind Them|url=http://books.google.com/books?id=SQXcpvjcJBUC&pg=PA43|accessdate=9 April 2013|date=19 March 2008|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-979268-9|pages=43–}}</ref><ref name="Battin1999">{{cite book|author=Richard H Battin|title=An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, revised edition|url=http://books.google.com/books?id=OjH7aVhiGdcC&pg=PA79|accessdate=9 April 2013|year=1999|publisher=AIAA|isbn=978-1-60086-026-3|pages=79–}}</ref><ref name="BradleySandifer2007">{{cite book|author1=Robert E. Bradley|author2=Ed Sandifer|title=Leonhard Euler: Life, Work and Legacy|url=http://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA5|accessdate=9 April 2013|date=20 March 2007|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047129-7|pages=5–}}</ref>
<ref name="Jr.1979">{{cite book|author=C. H. Edwards, Jr.|title=The historical development of the calculus|url=http://books.google.com/books?id=D2SWE_iZjYsC&pg=PA268|accessdate=9 April 2013|year=1979|publisher=Springer|isbn=978-0-387-94313-8|pages=268–}}</ref><ref>{{citar livro |sobrenome=Calinger |nome=Ronald |título=A Contextual History of Mathematics |ano=1999 |editora=Prentice-Hall |isbn=0-02-318285-7 |page=150 |quote=Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287&nbsp;212 BC), the most original and profound mathematician of antiquity.}}</ref><ref>{{citar web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Archimedes.html |título=Archimedes of Syracuse |acessodata=2008-06-09 |editora=The MacTutor History of Mathematics archive |mês=January|ano=1999}}</ref> Ele usou o [[método da exaustão]] para calcular a [[área]] sob o arco de uma [[parábola]] utilizando a [[Série (matemática)|soma de uma série infinita]], e também encontrou uma aproximação bastante acurada do número [[pi|π]].<ref>{{citar web|título = A history of calculus |autor=O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.|editora = [[University of St Andrews]]| url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html |mês= February|ano= 1996|acessodata= 2007-08-07}}</ref> Também descobriu a [[Espiral de Arquimedes|espiral]] que leva seu nome, fórmulas para os [[volume]]s de [[Sólido de revolução|sólidos de revolução]] e um engenhoso sistema para expressar números muito grandes.

Durante o [[Cerco de Siracusa (214 - 212 a.C.)|Cerco a Siracusa]], Arquimedes foi morto por um soldado [[República Romana|romano]], mesmo após os soldados terem recebido ordens para que não o ferissem, devido à admiração que os líderes romanos tinham por ele. Anos depois, [[Cícero]] descreveu sua visita ao túmulo de Arquimedes, que era encimado por uma [[esfera]] [[Figura inscrita|inscrita]] em um [[cilindro]]. Arquimedes tinha descoberto e provado que a esfera tem exatamente dois terços do volume e da área da superfície do cilindro a ela circunscrito (incluindo as bases do último), e considerou essa como a maior de suas realizações matemáticas.<ref>[http://www.seara.ufc.br/cientistas/arquimedes.htm Universidade Federal do Ceará - SEARA DA CIÊNCIA - Painel de Cientistas - Arquimedes]</ref>

Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado, entre outros, [[Galileu Galilei]], [[Christiaan Huygens]] e [[Isaac Newton]].<ref>[http://www.springer.com/engineering/mechanical+eng/book/978-90-481-9090-4 Paipetis, S. A.; Ceccarelli, Marco - The Genius of Archimedes - 23 Centuries of Influence on Mathematics, Science and Engineering]</ref><ref>[http://www.gutenberg.org/files/14725/14725-h/14725-h.htm The Project Gutenberg eBook, Treatise on Light, by Christiaan Huygens, Translated by Silvanus P. Thompson / pg. 104.]</ref><ref>[http://books.google.com.br/books?id=sp8_hrRI2MoC&pg=PA282&lpg=PA282&dq=%22galileo+wrote%22+%22archimedes%22+essay&source=bl&ots=cxyxZHGcs4&sig=EVEo0nm4YMOCkUycjQO206SXDYs&hl=pt-BR&sa=X&ei=1wIDT6GZBpGztweegu3QBg&ved=0CB4Q6AEwAA#v=onepage&q=%22galileo%20wrote%22%20%22archimedes%22%20essay&f=false Stillman Drake, Noel M. Swerdlow, Trevor Harvey Levere, Essays on Galileo and the history and philosophy of science]</ref><ref>[http://www.princeton.edu/~hos/Mahoney/articles/huygens/timelong/timelong.html Michael S. Mahoney - Christian Huygens: The Measurement of Time and of Longitude at Sea.]</ref><ref>[http://books.google.com.br/books?id=YDEP1XgmknEC&printsec=frontcover#v=onepage&q=archimedes&f=false The Mathematical Papers of Isaac Newton (edited by Whiteside), Volume 7; Volumes 1691-1695 / pg. 185.]</ref>

== Biografia ==
[[Ficheiro:Gerhard Thieme Archimedes.jpg|thumb|right|Esta estátua de bronze de Arquimedes localiza-se no [[Observatório Archenhold]] em [[Berlim]]. Ela foi esculpida por Gerhard Thieme, e apresentada em 1972.]]

Arquimedes nasceu por volta de 287&nbsp;a.C. na cidade portuária de [[Siracusa]], na [[Sicília]], naquele tempo uma [[Colónias (Antiguidade)|colônia]] auto-governante na [[Magna Grécia]]. A data de nascimento é baseada numa afirmação do historiador [[Gregos bizantinos|grego bizantino]] [[João Tzetzes]], de que Arquimedes viveu 75 anos.<ref>[[T. L. Heath|Heath, T. L.]], ''Works of Archimedes'', 1897</ref> Em sua obra ''[[O Contador de Areia]]'', Arquimedes conta que seu pai se chamava ''Fídias'', um [[astrônomo]] sobre quem nada se sabe atualmente. [[Plutarco]] escreveu em ''[[Vidas Paralelas]]'' que Arquimedes era parente do Rei [[Hierão II]], o governante de Siracusa.<ref>{{citar web|name| lives|título = ''Parallel Lives'' Complete e-text from Gutenberg.org|autor=[[Plutarch]]|editora = [[Project Gutenberg]]| url = http://www.gutenberg.org/etext/674|acessodata=2007-07-23}}</ref> Uma biografia de Arquimedes foi escrita por seu amigo Heráclides, mas esse trabalho foi perdido, deixando os detalhes de sua vida obscuros.<ref name="mactutor">{{citar web |name=andrews| autor=O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.|url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes.html|título = Archimedes of Syracuse|editora = University of St Andrews|acessodata = 2007-01-02}}</ref> É desconhecido, por exemplo, se ele se casou ou teve filhos. Durante sua juventude, Arquimedes talvez tenha estudado em [[Alexandria]], [[Antigo Egito|Egito]], onde [[Conon de Samos]] e [[Eratóstenes|Eratóstenes de Cirene]] foram contemporâneos. Ele se referiu a Conon de Samos como seu amigo, enquanto dois de seus trabalhos (''[[O Método dos Teoremas Mecânicos]]'' e o ''[[O Problema Bovino]]'') têm introduções destinadas a Eratóstenes.{{Ref_label|A|a|none}}

Arquimedes morreu em ''circa''. 212&nbsp;a.C. durante a [[Segunda Guerra Púnica]], quando forças romanas sob o comando do General [[Marco Cláudio Marcelo (cônsul em 222 a.C.)|Marco Cláudio Marcelo]] capturaram a cidade de Siracusa após um cerco de dois anos. Existem diversas versões sobre sua morte. De acordo com o relato dado por [[Plutarco]], Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer General Marcelo, mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de trabalhar no problema. O soldado ficou furioso com isso, e matou Arquimedes com sua espada. Plutarco também oferece um relato menos conhecido da morte de Arquimedes, que sugere que ele pode ter sido morto enquanto tentava se render a um soldado romano. De acordo com essa história, Arquimedes estava carregando instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou que fossem itens valiosos. O General Marcelo teria ficado irritado com a morte de Arquimedes, visto que o considerava uma posse científica valiosa, e tinha ordenado que ele não fosse ferido.<ref name="death">{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Death/Histories.html|título = Death of Archimedes: Sources|editora = [[Courant Institute of Mathematical Sciences]]|acessodata = 2007-01-02}}</ref>

[[Ficheiro:Archimedes sphere and cylinder.svg|thumb|right|Uma esfera tem 2/3 do volume e área da superfície de seu cilindro circunscrito. Uma [[esfera]] e um [[cilindro]] foram colocados sobre o túmulo de Arquimedes, de acordo com seu pedido.]]

As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são "Não perturbe meus círculos" ({{lang-el|μή μου τούς κύκλους τάραττε}}), uma referência aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando quando perturbado pelo soldado romano. Esta citação é muitas vezes dada em [[Latim]] como "Noli turbare circulos meos," mas não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou estas palavras e elas não aparecem no relato dado por Plutarco.<ref name="death"/>

O túmulo de Arquimedes continha uma escultura ilustrando sua demonstração matemática favorita, consistindo de uma [[esfera]] e um [[cilindro]] de mesma altura e diâmetro. Arquimedes tinha provado que o volume e a área da superfície da esfera são dois terços da do cilindro incluindo suas bases. Em 75&nbsp;a.C, 137 anos após sua morte, o [[orador]] [[romano]] [[Cícero]] estava trabalhando como [[questor]] na [[Sicília]]. Ele tinha ouvido histórias sobre o túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos moradores foi capaz de lhe dar a localização. Após algum tempo, ele encontrou o túmulo próximo ao Portão de Agrigentino em Siracusa, em condição negligenciada e coberto de arbustos. Cícero limpou o túmulo, e foi capaz de ver a escultura e ler alguns dos versos que haviam sido adicionados como inscrição.<ref>{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/Cicero.html|título = Tomb of Archimedes: Sources|editora = Courant Institute of Mathematical Sciences|acessodata = 2007-01-02}}</ref>

As versões conhecidas a respeito da vida de Arquimedes foram escritas muito tempo depois de sua morte pelos historiadores da Roma Antiga. O relato do cerco a Siracusa dado por [[Políbio]] em seu ''História Universal'' foi escrito por volta de setenta anos depois da morte de Arquimedes, e foi utilizado posteriormente como fonte por Plutarco e [[Lívio]]. Ele esclarece pouco sobre Arquimedes como uma pessoa, e centra-se nas máquinas de guerra que ele supostamente construiu a fim de defender a cidade.<ref>{{citar web| nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Siege/Polybius.html|título = Siege of Syracuse| editora = Courant Institute of Mathematical Sciences|acessodata = 2007-07-23}}</ref>

== Descobertas e invenções ==
=== A coroa de ouro ===
[[Ficheiro:Archimedes water balance.gif|thumb|right|180px|É possível que Arquimedes tenha usado seu princípio do empuxo para determinar se a coroa era menos [[Densidade|densa]] que ouro puro.]]

A curiosidade mais conhecida sobre Arquimedes conta sobre como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto de forma irregular. De acordo com [[Vitrúvio]], uma [[coroa votiva]] para um templo tinha sido feita para o Rei Hierão II, que tinha fornecido ouro puro para ser usado, e Arquimedes foi solicitado a determinar se alguma [[prata]] tinha sido usada na confecção da coroa pelo possivelmente desonesto ferreiro.<ref>{{citar web|título = ''De Architectura'', Book IX, paragraphs 9–12, text in English and Latin|autor= [[Vitruvius]]| editora = [[University of Chicago]]|url = http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Vitruvius/9*.html|acessodata=2007-08-30}}</ref> Arquimedes tinha que resolver o problema sem danificar a coroa, de forma que ele não poderia derretê-la em um corpo de formato regular, a fim de encontrar seu [[volume]] para calcular a sua [[densidade]].
Enquanto tomava um banho, ele percebeu que o nível da água na banheira subia enquanto ele entrava, e percebeu que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume da coroa. Para efeitos práticos, a água é incompressível,<ref>{{citar web|título = Incompressibility of Water|editora =[[Harvard University]]|url = http://www.fas.harvard.edu/~scdiroff/lds/NewtonianMechanics/IncompressibilityofWater/IncompressibilityofWater.html|acessodata=2008-02-27}}</ref> assim a coroa submersa deslocaria uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da coroa pelo volume de água deslocada, a densidade da coroa podia ser obtida. Essa densidade seria menor do que a do ouro se metais mais baratos e menos densos tivessem sido adicionados. Arquimedes teria ficado tão animado com sua descoberta que teria esquecido de se vestir e saído gritando pelas ruas "[[Eureka (exclamação)|Eureka]]!" ([[Língua grega|em grego]]: "εὕρηκα!," significando "Encontrei!"). O teste foi realizado com sucesso, provando que prata realmente tinha sido misturada.<ref>{{citar web|título = Buoyancy|autor= [[HyperPhysics]]| editora =[[Georgia State University]]|url = http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/pbuoy.html|acessodata=2007-07-23}}</ref>

A história da coroa de ouro não aparece nas obras conhecidas de Arquimedes. Além disso, a praticidade do método descrito tem sido posta em dúvida, devido à extrema acurácia com que se teria que medir o deslocamento de água.<ref name="inaccuracy">{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html|título = The Golden Crown|editora = [[Drexel University]]|acessodata = 2009-03-24}}</ref> Arquimedes pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido em [[hidrostática]] como [[princípio de Arquimedes]], que ele descreveu em seu tratado ''[[Sobre os Corpos Flutuantes]]''. Esse princípio afirma que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca.<ref>{{citar web|título = ''Archimedes' Principle''|nome=Bradley W |sobrenome=Carroll |editora=[[Weber State University]]|url =http://www.physics.weber.edu/carroll/Archimedes/principle.htm|acessodata=2007-07-23}}</ref> Usando esse princípio, teria sido possível comparar a densidade da coroa de ouro à de ouro maciço equilibrando-se a coroa em uma balança de braços iguais com uma amostra de ouro, e então imergindo-se o aparato na água. Se a coroa fosse menos densa que ouro, ela deslocaria mais água, devido ao seu maior volume, e assim experimentaria uma força de empuxo maior do que a amostra de ouro. Essa diferença de empuxo causaria a balança a inclinar-se de acordo. [[Galileu Galilei|Galileu]] considerou "provável que esse método é o mesmo que Arquimedes seguiu, uma vez que, além de ser bastante acurado, é baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes."<ref name="galileo">{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/bilancetta.html|título = The Golden Crown: Galileo's Balance|editora = [[Drexel University]]|acessodata = 2009-03-24}}</ref> Num texto do século XII intitulado ''Mappae clavicula'', há instruções detalhadas sobre como realizar as pesagens dentro da água com o fim de calcular a porcentagem de prata utilizada, e assim resolver o problema.<ref name="coroadorei">[http://www.periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/6769 Roberto de Andrade Martins - Arquimedes e a coroa do rei: problemas históricos]</ref><ref>Marcel Berthelot - Sur l histoire de la balance hydrostatique et de quelques autres appareils et procédés scientifiques, Annales de Chimie et de Physique [série 6], 23 / 1891. Páginas 475-485</ref> Além disso, o poema latino ''Carmen de ponderibus et mensuris'' do século IV ou V d.C. descreve a utilização de uma balança hidrostática para solucionar o problema da coroa, e atribui esse método a Arquimedes.<ref name="coroadorei" />

=== O Siracusia e o parafuso de Arquimedes ===
[[Ficheiro:Archimedes screw.JPG|thumb|left|O [[parafuso de Arquimedes]] é capaz de elevar água eficientemente.]]
[[Ficheiro:IMG 1729 Gemaal met schroef van Archimedes bij Kinderdijk.JPG|thumb|150px|Parafusos de Arquimedes modernos que substituíram alguns dos [[Moinho de vento|moinhos de vento]] usados para drenar os [[pôlder]]es em [[Kinderdijk]] na [[Holanda (região)|Holanda]]]]
Grande parte do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu para satisfazer as necessidades de sua cidade natal, Siracusa. O escritor grego [[Ateneu|Ateneu de Náucratis]] descreveu como o Rei Hierão II encarregou Arquimedes de projetar um grande barco, o ''[[Siracusia]]'', que poderia ser utilizado para viagens de luxo, transporte de suprimentos, e como um navio de guerra. É dito que o ''Siracusia'' foi o maior barco construído na Antiguidade Clássica.<ref>{{citar livro |sobrenome=Casson|nome= Lionel|autorlink= Lionel Casson|título=Ships and Seamanship in the Ancient World|ano=1971 |editora= Princeton University Press |isbn=0-691-03536-9}}</ref> De acordo com Ateneu, ele era capaz de carregar 600 pessoas e nele havia jardins decorativos, um ''[[gymnasion]]'' e um templo dedicado à deusa [[Afrodite]], dentre outras instalações. Uma vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o [[parafuso de Arquimedes]] foi supostamente inventado para remover água da [[sentina]]. A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes tal como descrito por [[Vitrúvio]] nos tempos romanos pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os [[Jardins Suspensos da Babilônia]].<ref>{{citar web|título = ''Sennacherib, Archimedes, and the Water Screw: The Context of Invention in the Ancient World''|autor=Dalley, Stephanie. [[John Peter Oleson|Oleson, John Peter]]| editora = ''Technology and Culture'' Volume 44, Number 1, January 2003 (PDF)| url =http://muse.jhu.edu/journals/technology_and_culture/toc/tech44.1.html|acessodata=2007-07-23}}</ref><ref>{{citar web|título = Archimedes screw – Optimal Design|autor=Rorres, Chris| editora =Courant Institute of Mathematical Sciences|url =http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Screw/optimal/optimal.html |acessodata=2007-07-23}}</ref><ref>[[:File:Archimedes-screw one-screw-threads with-ball 3D-view animated.gif|An animation of an Archimedes screw]]</ref>

=== A garra de Arquimedes ===
A [[garra de Arquimedes]] é uma arma supostamente projetada por Arquimedes a fim de defender a cidade de Siracusa. Também conhecida como "sacudidora de navios", a garra consistia em um braço de guindaste a partir do qual pendia um grande gancho de metal. Quando a garra caia sobre um navio inimigo, o braço era usado para balançar e levantar o navio para fora da água. Experimentos modernos foram realizados para testar a viabilidade da garra, e em 2005&nbsp;um documentário de televisão intitulado ''Super-armas do Mundo Antigo'' (''Superweapons of the Ancient World'') construiu uma versão da garra e concluiu que era um dispositivo viável.<ref>{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|título = Archimedes' Claw – Illustrations and Animations – a range of possible designs for the claw| editora = Courant Institute of Mathematical Sciences|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Claw/illustrations.html|acessodata=2007-07-23}}</ref><ref>{{citar web|título = Archimedes' Claw – watch an animation|nome=Bradley W |sobrenome=Carroll|editora = Weber State University| url = http://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/claw.htm|acessodata=2007-08-12}}</ref>

=== O raio de calor de Arquimedes ===
[[Ficheiro:Archimedes Heat Ray conceptual diagram.svg|thumb|right|Arquimedes talvez tenha usado espelhos agindo coletivamente como um [[refletor parabólico]] para queimar navios que atacavam [[Siracusa]].]]

[[Luciano de Samósata]], [[escritor]] do [[século II]], escreveu que durante o [[Cerco de Siracusa (214 - 212 a.C.)|Cerco a Siracusa]] (''c.'' 214–212&nbsp;a.C.), Arquimedes destruiu navios inimigos com fogo. Séculos depois, [[Antêmio de Trales]] menciona [[Espelho ustório|espelhos ustórios]] como a arma utilizada por Arquimedes.<ref>''Hippias'', 2 (cf. [[Galen]], ''On temperaments'' 3.2, who mentions ''pyreia'', "torches"); [[Anthemius of Tralles]], ''On miraculous engines'' 153 [Westerman].</ref> O dispositivo, algumas vezes chamado de "raio de calor de Arquimedes" ou "raio solar de Arquimedes", teria sido usado para concentrar a luz solar em navios que se aproximavam, levando-os a pegar fogo.

A credibilidade desta história tem sido objeto de debate desde o Renascimento. [[René Descartes]] a considerou falsa, enquanto pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito usando apenas os meios que estavam disponíveis a Arquimedes.<ref>{{citar web |autor=[[John Wesley]] |url = http://web.archive.org/web/20071012154432/http://wesley.nnu.edu/john_wesley/wesley_natural_philosophy/duten12.htm| título = ''A Compendium of Natural Philosophy'' (1810) Chapter XII, ''Burning Glasses''|editora = Online text at Wesley Center for Applied Theology|acessodata = 2007-09-14 |archiveurl = http://web.archive.org/web/20071012154432/http://wesley.nnu.edu/john_wesley/wesley_natural_philosophy/duten12.htm <!-- Bot retrieved archive --> |archivedate = 2007-10-12}}</ref> Foi sugerido que uma grande quantidade de escudos bem polidos de [[bronze]] ou [[cobre]] atuando como espelhos poderiam ter sido utilizados para concentrar a luz solar em um navio. Poderia ter-se usado o princípio do [[refletor parabólico]] de maneira similar a um [[forno solar]] de alta temperatura.

Um teste do raio de calor de Arquimedes foi realizado em 1973 pelo cientista grego Ioannis Sakkas. O experimento foi realizado na base naval de [[Skaramangas]] nos arredores de [[Atenas]]. Nesta ocasião 70 espelhos foram usados, cada um com um revestimento de cobre e com um tamanho de aproximadamente 5 por 3 pés (1,5 por 1&nbsp;m). Os espelhos foram apontados a uma réplica de um navio romano, feita de madeira compensada, a uma distância de aproximadamente 160&nbsp;pés (50&nbsp;metros). Quando os espelhos foram enfocados com precisão, o navio irrompeu em chamas em questão de poucos segundos. O navio de madeira compensada era revestido por tinta de [[betume]], o que pode ter facilitado a combustão.<ref>{{citar web|título = Archimedes' Weapon| editora = [[Time (magazine)|Time Magazine]]|date = November 26, 1973| url = http://www.time.com/time/magazine/article/0,9171,908175,00.html?promoid=googlep|acessodata=2007-08-12}}</ref>

Em outubro de 2005, um grupo de estudantes do [[Massachusetts Institute of Technology|MIT]] conduziu um experimento com 127 espelhos quadrados com lado de 1 pé (30&nbsp;cm), focados em uma maquete de navio de madeira a uma distância de cerca de 100&nbsp;pés (30&nbsp;m). Chamas surgiram em uma parte do navio, mas só depois de o céu estar sem nuvens e o navio ter permanecido estacionário por cerca de dez minutos. Concluiu-se que o dispositivo era uma arma viável nessas condições. O grupo do MIT repetiu a experiência para o programa de televisão ''[[MythBusters]]'', utilizando um barco pesqueiro de madeira em [[São Francisco]] como o alvo. Novamente alguma carbonização ocorreu, juntamente com uma pequena quantidade de chamas. Para pegar fogo, a madeira precisa atingir a sua [[temperatura de autoignição]], que é de cerca de 300&nbsp;°C (570&nbsp;°F).<ref>{{citar web|título = How Wildfires Work|autor= Bonsor, Kevin| editora = [[HowStuffWorks]]| url = http://science.howstuffworks.com/wildfire.htm|acessodata=2007-07-23}}</ref><ref>[http://www.engineeringtoolbox.com/fuels-ignition-temperatures-d_171.html Fuels and Chemicals – Auto Ignition Temperatures]</ref>

Quando o ''MythBusters'' transmitiu o resultado do experimento de São Francisco, em janeiro de 2006, a afirmação foi categorizada como mentira ("mito detonado") devido à duração de tempo e as condições climáticas ideais necessárias para a combustão ocorrer. Também foi salientado que como Siracusa vê o mar a leste, a frota romana teria de ter atacado durante a manhã para um ótimo acúmulo de luz usando-se os espelhos. O ''MythBusters'' também salientou que armamento convencional, como flechas em chamas ou ainda catapultas, seria uma maneira muito mais fácil de incendiar um navio a curta distância.<ref name="death ray">{{citar web|título = Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters|editora = MIT| url = http://web.mit.edu/2.009/www//experiments/deathray/10_Mythbusters.html|acessodata=2007-07-23}}</ref>

Em dezembro de 2010, o ''MythBusters'' olhou novamente para a história do raio de calor em uma edição especial com [[Barack Obama]] em destaque, intitulada ''President's Challenge'' (''O Desafio do Presidente''). Vários experimentos foram realizados, incluindo um teste em larga escala com 500 crianças de escola mirando espelhos em uma maquete de um barco romano a 400&nbsp;pés (120&nbsp;m) de distância. Em todos os experimentos, a vela não alcançou os 210&nbsp;°C (410&nbsp;°F) necessários para que pegasse fogo, e o veredito foi novamente o de "detonado". O programa concluiu que um efeito mais provável dos espelhos teria sido cegar, ofuscar, ou distrair a tripulação do navio.<ref name="death ray2">{{citar web|título = TV Review: MythBusters 8.27 – President’s Challenge| url = http://fandomania.com/tv-review-mythbusters-8-27-presidents-challenge/|acessodata=2010-12-18}}</ref>

=== Outras descobertas e invenções ===
Apesar de Arquimedes não ter inventado a [[alavanca]], ele deu uma explicação do princípio envolvido em sua obra ''[[Sobre o Equilíbrio dos Planos]]''. São conhecidas descrições anteriores da alavanca pela [[Escola peripatética|Escola Peripatética]] dos seguidores de [[Aristóteles]], e às vezes são atribuídas a [[Arquitas de Tarento]].<ref name="lever rorres">{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Lever/LeverLaw.html|título = The Law of the Lever According to Archimedes|editora = [[Courant Institute of Mathematical Sciences]]|acessodata = 2010-03-20}}</ref><ref name="lever clagett">{{citar livro |nome=Marshall |sobrenome=Clagett|url = http://books.google.com/?id=mweWMAlf-tEC&pg=PA72&lpg=PA72&dq=archytas+lever&q=archytas%20lever| título = Greek Science in Antiquity| editora = Dover Publications|acessodata = 2010-03-20 |isbn=978-0-486-41973-2 |ano=2001}}</ref> De acordo com [[Pappus de Alexandria]], o trabalho de Arquimedes sobre as alavancas fez com que ele exclamasse: "Deem-me um ponto de apoio e moverei a Terra." ({{lang-el|δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω}})<ref>Citado por [[Pappus de Alexandria]] em ''Synagoga'', Livro VIII</ref> Plutarco descreveu como Arquimedes projetou sistemas de [[roldana]]s, permitindo a marinheiros a utilização do princípio da alavanca para levantar objetos que teriam sido demasiado pesados para serem movidos de outra maneira.<ref>{{citar web|autor=Dougherty, F. C.; Macari, J.; Okamoto, C.|título = Pulleys|editora=[[Society of Women Engineers]]|url = http://www.swe.org/iac/lp/pulley_03.html|acessodata=2007-07-23}}</ref> Arquimedes também foi creditado pelo aumento do poder e precisão da [[catapulta]], e por inventar o [[hodômetro]] durante a [[Primeira Guerra Púnica]]. O hodômetro foi descrito como um carrinho com um mecanismo de engrenagens que a cada milha percorrida derrubava uma bola em um recipiente.<ref>{{citar web |url = http://www.tmth.edu.gr/en/aet/5/55.html| título = Ancient Greek Scientists: Hero of Alexandria|editora = Technology Museum of Thessaloniki|acessodata = 2007-09-14}}</ref>

[[Cícero]] (106–43&nbsp;a.C) menciona Arquimedes brevemente em seu [[diálogo]] ''[[De re publica]]'', que retrata uma conversa fictícia ocorrendo em 129&nbsp;a.C. Foi dito que após a captura de Siracusa em ''circa'' 212&nbsp;a.C, General [[Marco Cláudio Marcelo (cônsul em 222 a.C.)|Marco Cláudio Marcelo]] levou a Roma dois mecanismos usados como ferramentas para estudos astronômicos, que mostravam os movimentos do Sol, da Lua e de cinco planetas. Cícero menciona mecanismos similares projetados por [[Tales de Mileto]] e [[Eudoxo de Cnido]]. O diálogo conta que Marcelo manteve um dos dispositivos como sua única pilhagem pessoal de Siracusa, e doou o outro para o ''Templo da Virtude'' em Roma. De acordo com Cícero, [[Caio Sulpício Galo]] fez uma demonstração do mecanismo de Marcelo para [[Lúcio Fúrio Filão]], que o descreveu assim:

{| cellspacing="2" cellpadding="5"
| bgcolor="white" |'''Original em latim'''
| bgcolor="white" |'''Tradução para o português'''
|-
| bgcolor="white" |Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.
| bgcolor="white" |Quando Galo moveu o globo, ocorreu que a Lua seguiu o Sol tantas voltas nessa invenção de bronze como no próprio céu, a partir do qual também no céu o globo do Sol passou a ter o mesmo eclipse, e a Lua veio então para essa posição em que estava sua sombra sobre a Terra quando o Sol estava alinhado.
|}<ref>{{citar web|título = ''De re publica'' 1.xiv §21|autor= [[Cícero]]| editora =thelatinlibrary.com|url = http://www.thelatinlibrary.com/cicero/repub1.shtml#21|acessodata=2007-07-23}}</ref><ref>{{citar web|título =''De re publica'' Complete e-text in English from Gutenberg.org|autor=[[Cicero]]|editora = [[Project Gutenberg]]|url= http://www.gutenberg.org/etext/14988|acessodata=2007-09-18}}</ref>

Esta é uma descrição de um [[planetário]] ou [[aparelho de Orrery]]. [[Pappus de Alexandria]] disse que Arquimedes escreveu um manuscrito (agora perdido) sobre a construção destes mecanismos intitulado {{nowrap|''[[Sobre a Construção de Esferas]]''}}. Investigação moderna nesta área tem sido focada no [[mecanismo de Anticítera]], outro dispositivo da antiguidade clássica, que provavelmente foi usado para a mesma finalidade. A construção de mecanismos deste tipo teria exigido um conhecimento sofisticado de [[Diferencial|engrenagens diferenciais]]. Pensava-se que isto estivesse fora do alcance da tecnologia disponível nos tempos antigos, mas a descoberta do mecanismo de Anticítera, em 1902, confirmou que dispositivos desse tipo eram conhecidos dos gregos antigos.<ref>{{citar web|título = Spheres and Planetaria |nome=Chris |sobrenome=Rorres|editora = Courant Institute of Mathematical Sciences|url = http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Sphere/SphereIntro.html|acessodata=2007-07-23}}</ref><ref>{{citar web|título = Ancient Moon 'computer' revisited|editora = BBC News|date = November 29, 2006| url = http://news.bbc.co.uk/1/hi/sci/tech/6191462.stm|acessodata=2007-07-23}}</ref>

== Trabalhos matemáticos ==
[[Ficheiro:Arquimedes-metodo-exaustao.png|thumb|right|290px|Arquimedes usou o [[método da exaustão]] para aproximar o valor de [[pi|π]].]]
Embora seja popularmente mais conhecido como um inventor de dispositivos mecânicos, Arquimedes também fez importantes contribuições para o campo da matemática. [[Plutarco]] escreveu: "Ele colocou todo o seu afeto e ambição nessas especulações puras onde não há referência às necessidades vulgares da vida."<ref>{{citar web|título = Extract from ''Parallel Lives''|autor= [[Plutarch]]| editora = fulltextarchive.com| url = http://fulltextarchive.com/pages/Plutarch-s-Lives10.php#p35|acessodata=2009-08-10}}</ref>

Arquimedes foi capaz de usar [[Infinitesimal|infinitesimais]] de uma maneira que é semelhante ao moderno [[Integral|cálculo integral]], e frequentemente diz-se que é muito provável que se os [[Matemática grega|gregos antigos]] possuíssem uma [[notação matemática]] mais apropriada (tais como um [[sistema numérico]] [[Notação posicional|posicional]] e [[Álgebra|notação algébrica]]), ele teria inventado o [[cálculo]].<ref>[http://scienceworld.wolfram.com/biography/Archimedes.html Eric W. Weisstein. Archimedes of Syracuse.]</ref><ref>Isaac Asimov. Realm of Numbers, pg. 19.</ref><ref>Harry Elmer Barnes & Henry David. The History of Western Civilization - Volume 1, pg 228.</ref> Através de provas por contradição ([[reductio ad absurdum]]), ele encontrou respostas aproximadas para problemas diversos, especificando os limites entre os quais se encontrava a resposta correta. Esta técnica é conhecida como o [[método da exaustão]], e ele empregou-o para aproximar o valor de [[pi|π]] (pi). Ele conseguiu isso desenhando um [[polígono regular]] [[Figura inscrita|inscrito]] e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa de um círculo. Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os comprimentos de seus lados (sabendo o comprimento dos lados de um polígono regular de ''n'' lados, Arquimedes sabia como calcular o comprimento dos lados de um polígono regular de ''2n'' lados e mesmo raio)<ref>Elon Lages Lima. Medida e Forma em Geometria, pg. 55. Sociedade Brasileira de. Matemática. Coleção do Professor de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1991</ref> e mostrou que o valor de π está entre 3{{frac|1|7}} (aproximadamente 3,1429) e 3{{frac|10|71}} (aproximadamente 3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416. Ele também mostrou que a [[área]] de um círculo é igual a π multiplicado pelo [[quadrado]] do [[raio (geometria)|raio]] do círculo. Em ''[[Sobre a Esfera e o Cilindro]]'', além dos resultados principais, Arquimedes postulou que qualquer grandeza quando adicionada a ela mesma suficientes vezes excederá qualquer grandeza dada. Este é o [[axioma de Arquimedes]] dos [[Número real|números reais]].<ref>{{citar web|título = Archimedean ordered fields|autor= Kaye, R.W.| editora = web.mat.bham.ac.uk| url = http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/seqser/archfields|acessodata=2009-11-07}}</ref> Um dos lemas utilizados por Arquimedes em seu resultado sobre a área da superfície esférica é agora visto como um caso especial do [[teorema de Duistermaat-Heckman]] em [[geometria simplética]] (descoberto dois milênios após Arquimedes).<ref>Ana Cannas da Silva. [http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/lsg.pdf Lectures on Symplectic Geometry], p.192.</ref><ref>Victor Guillemin. [http://books.google.com/books?id=26K8IOe8_J4C&pg=PA60 Symplectic Fibrations and Multiplicity Diagrams], p.60.</ref><ref>Miguel Abreu e Ana Cannas da Silva. [http://www.math.ist.utl.pt/~mabreu/outreach/22seculos-artigo.pdf 22 Séculos a medir área.]</ref>

Em ''[[Sobre as Medidas do Círculo]]'', Arquimedes informa o valor da [[raiz quadrada]] de 3 como estando entre {{frac|265|153}} (aproximadamente 1,7320261) e {{frac|1351|780}} (aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente 1,7320508, portanto foi uma estimativa muito precisa. Historiadores fizeram muitas hipóteses sobre qual método ele poderia ter usado para chegar neste resultado, dentre elas: um possível conhecimento de [[Fração continuada|frações continuadas]], uma variante do método de [[Diofanto de Alexandria|Diofanto]], e até mesmo tentativa e erro, no entanto o tema permanece controverso.<ref>James Gow. [http://books.google.com/books?id=KSe_ZEmHaXEC&pg=PA54 A Short History of Greek Mathematics], p. 54 .</ref> Ele apresentou o resultado sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez [[John Wallis]] comentar que ele estava: "...como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com os seus resultados."<ref>Quoted in Heath, T. L. ''Works of Archimedes'', Dover Publications, ISBN 0-486-42084-1.</ref>

[[Ficheiro:Parabolic segment and inscribed triangle.svg|thumb|right|Como mostrado por Arquimedes, a área do segmento [[Parábola|parabólico]] na figura de cima é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura de baixo.]]
Em ''[[A Quadratura da Parábola]]'', Arquimedes provou que a área delimitada por uma [[parábola]] e uma linha reta é {{frac|4|3}} vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão comum de {{frac|1|4}}:

:<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>

Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas secantes menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · cujo resultado é {{frac|1|3}}.

Em ''[[O Contador de Areia]]'', Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Ao fazê-lo, desafiou a ideia de que o número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Ele escreveu: "Existem alguns, Rei Gelão (Gelão II, filho de [[Hierão II]]), que pensam que o número de grãos de areia é infinito em multitude; e eu me refiro a areia não só a que existe em Siracusa e no resto da Sicília, mas também a que é encontrada em qualquer região, seja habitada ou inabitada." Para resolver o problema, Arquimedes teve que estimar o tamanho do universo de acordo com o modelo então vigente, e inventar uma maneira de falar a respeito de números extremamente grandes. Ele inventou uma forma de escrever números baseada na [[miríade]]. A palavra corresponde a palavra grega μυριάς ''myriás'', para o número 10 000. Propôs um sistema em que se utilizava uma potência de uma miríada elevada a um miríada (100 milhões) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo seria 8 vigintilhões, isto é, 8{{e|63}}.<ref>{{citar web|título = The Sand Reckoner |nome=Bradley W |sobrenome=Carroll|editora = Weber State University| url = http://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/sand.htm|acessodata=2007-07-23}}</ref>

== Escritos ==
As obras de Arquimedes foram escritas em [[grego dórico]], o dialeto falado na antiga [[Siracusa]].<ref>Encyclopedia of ancient Greece By Wilson, Nigel Guy [http://books.google.com/books?id=-aFtPdh6-2QC&pg=PA77 p. 77] ISBN 0-7945-0225-3 (2006)</ref> As obras escritas de Arquimedes não foram conservadas tão bem quanto as de [[Euclides]], e sabe-se da existência de sete de seus tratados apenas através de referências feitas a eles por outros autores. [[Pappus de Alexandria]] menciona ''[[Sobre a Construção de Esferas]]'' e outro trabalho sobre [[poliedro]]s (ver [[poliedros de Arquimedes]]), ao passo que [[Téon de Alexandria]] cita uma observação sobre a [[refração]] proveniente do agora perdido ''Catoptrica''.{{Ref_label|B|b|none}} Durante sua vida, Arquimedes tornou seu trabalho conhecido através de correspondências mantidas com matemáticos de [[Alexandria]]. Os escritos de Arquimedes foram coletados pelo arquiteto [[Império Bizantino|bizantino]] [[Isidoro de Mileto]] (''c''. 530&nbsp;d.C.), ao passo que comentários escritos no [[século VI]] d.C. por [[Eutócio de Ascalon|Eutócio]] a respeito dos trabalhos de Arquimedes ajudaram a difundir seu trabalho a um público mais amplo. O trabalho de Arquimedes foi traduzido para o árabe por [[Thābit ibn Qurra]] (836–901&nbsp;d.C.), e para o latim por [[Gerardo de Cremona]] (''c.'' 1114–1187&nbsp;d.C.). Durante o [[Renascimento]], em 1544, o ''Editio Princeps'' (Primeira Edição) foi publicado em [[Basileia]] por Johann Herwagen, com as obras de Arquimedes em grego e latim.<ref>{{citar web|título = Editions of Archimedes' Work|editora = Brown University Library| url = http://www.brown.edu/Facilities/University_Library/exhibits/math/wholefr.html|acessodata=2007-07-23}}</ref> Por volta do ano 1586 [[Galileu Galilei]] inventou uma balança hidrostática para a pesagem de metais no ar e na água, aparentemente inspirado no trabalho de Arquimedes.<ref>{{citar web|título = The Galileo Project: Hydrostatic Balance|autor=Van Helden, Al|editora = [[Rice University]]| url = http://galileo.rice.edu/sci/instruments/balance.html|acessodata=2007-09-14}}</ref>

=== Obras sobreviventes ===
[[Ficheiro:Archimedes lever (Small).jpg|thumb|right|Conta-se que de seu estudo sobre as alavancas Arquimedes disse: ''Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.'']]
* ''[[Sobre o Equilíbrio dos Planos]]'' (dois volumes)
:No primeiro livro constam sete [[Axioma|postulados]] e quinze proposições,<ref name="works2">[http://books.google.com.br/books?id=6nPDFR89HhwC&pg=PA189&lpg=PA189&dq=%22On+the+Equilibrium+of+Planes%22+postulates&source=bl&ots=8mMGQgKlbV&sig=ogGH5WcOMPc83kwXSIm_zYas-VU&hl=pt-BR&sa=X&ei=svIpT8S0PNCCtgeC4eiRCQ&ved=0CDEQ6AEwAg#v=onepage&q=%22On%20the%20Equilibrium%20of%20Planes%22%20postulates&f=false The Works of Archimedes ISBN: 978-1-60206-252-8]</ref> já no segundo livro constam dez proposições.<ref name="works2" /> Neste trabalho Arquimedes explica a lei da [[alavanca]], afirmando, "As magnitudes estão em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais a seus pesos."
:Arquimedes usa os princípios derivados para calcular as áreas e os [[Centro de massa|centros de gravidade]] de várias figuras geométricas, incluindo [[triângulo]]s, [[paralelogramo]]s e [[parábola]]s.<ref name="works">{{citar web |autor =Heath, T.L.|url = http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp|título = The Works of Archimedes (1897). The unabridged work in PDF form (19&nbsp;MB)| editora = [[Internet Archive|Archive.org]]|acessodata = 2007-10-14}}</ref>
* ''[[Sobre as Medidas do Círculo]]''
:Trata-se de uma obra curta que consiste de apenas três proposições. Está escrita na forma de uma correspondência com [[Dositeu de Pelúsio]], um aluno de [[Conon de Samos]]. Na Proposição II, Arquimedes mostra que o valor de [[pi|π]] (pi) é maior que {{frac|223|71}} e menor que {{frac|22|7}}. Este último valor foi usado como uma aproximação de π ao longo da Idade Média e ainda é usado quando um valor aproximado de π é suficiente. O método de [[retificação da circunferência]] é uma aplicação direta da segunda proposição, na qual o [[diâmetro]] é dividido em sete partes iguais e o comprimento da [[circunferência]] é aproximadamente igual a vinte e duas dessas partes.<ref name=Giongo>{{citar livro|autor=[[Affonso Rocha Giongo]]|título=Curso de Desenho Geométrico|editora=Nobel|ano=1974|páginas=|id=Capítulo: Retificação da circunferência p.42}}</ref> 
* ''[[Sobre as Espirais]]''
:Neste trabalho constam 28 proposições. Também é destinado a Dositeu. O tratado define o que atualmente chama-se de [[espiral de Arquimedes]]. É o conjunto dos pontos correspondentes às posições de um ponto que se move a [[velocidade]] constante sobre uma [[reta]] que gira a [[velocidade angular]] constante sobre um ponto de origem fixo. Equivalentemente, em [[coordenadas polares]] (''r'', θ) pode ser descrita pela equação
::<math>\, r=a+b\theta</math>
:com ''a'' e ''b'' [[números reais]].<ref>[http://www.pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/layout/set/print/content/download/3328/21370/file/Arquimedes.pdf André Koch Torres Assis, Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca, pg. 25]</ref> Este é um dos primeiros exemplos de uma [[curva mecânica]] (uma curva traçada por um ponto em movimento).<ref name="PaipetisCeccarelli2010">{{cite book|author1=S. A. Paipetis|author2=Marco Ceccarelli|title=The Genius of Archimedes -- 23 Centuries of Influence on Mathematics, Science and Engineering: Proceedings of an International Conference Held at Syracuse, Italy, June 8-10, 2010|url=http://books.google.com/books?id=65Pz4_XJrgwC&pg=PA413|accessdate=9 April 2013|date=16 June 2010|publisher=Springer|isbn=978-90-481-9091-1|pages=413–}}</ref>
* ''[[Sobre a Esfera e o Cilindro]]'' (dois volumes)
:Neste tratado endereçado a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado pelo qual ele mais se orgulhava, nomeadamente a relação entre uma [[esfera]] e um cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume é {{frac|4|3}}π''r''<sup>3</sup> para a esfera, e 2π''r''<sup>3</sup> para o cilindro. A área superficial é 4π''r''<sup>2</sup> para a esfera, e 6π''r''<sup>2</sup> para o cilindro (incluindo suas duas bases), onde ''r'' é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume que é dois terços do volume do cilindro circunscrito. De forma similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do cilindro circunscrito (incluindo as bases). A pedido do próprio Arquimedes, foram colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas figuras geométricas.
* ''[[Sobre Conóides e Esferóides]]''
:Neste trabalho destinado a Dositeu constam 32 proposições. Nesse tratado Arquimedes calcula as áreas e volumes das seções de cones, esferas, e parabolóides.<ref>Stuart Hollingdale. Makers of mathematics, pg 70.</ref>
* ''[[Sobre os Corpos Flutuantes]]'' (dois volumes)
:Na primeira parte deste tratado, Arquimedes enuncia a lei dos fluidos em equilíbrio, e prova que a água adota uma forma esférica ao redor de um centro de gravidade. Isto pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria de astrônomos gregos contemporâneos, como [[Erastótenes]] de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por Arquimedes não são auto-gravitacionais, uma vez que ele assume a existência de um ponto para o qual todas as coisas caem, a fim de obter a forma esférica.

:Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de parabolóides. Isto foi provavelmente uma idealização das formas dos cascos dos navios.

:O [[princípio de Arquimedes]] da flutuabilidade aparece nesta obra, enunciado da seguinte forma: Qualquer corpo total ou parcialmente imerso em um fluido experimenta uma força para cima igual, mas em sentido oposto, ao peso do fluido deslocado.

:Este princípio explica porque os barcos flutuam e também permite determinar a porcentagem que fica acima da água quando um objeto flutua em um líquido, como, por exemplo, gelo flutuando em água líquida.<ref>C. Reid Nichols, Robert G. Williams - Encyclopedia of Marine Science</ref>

* ''[[A Quadratura da Parábola]]''
:Neste trabalho destinado a Dositeu constam 24 proposições, Arquimedes prova através de dois métodos que a área delimitada por uma [[parábola]] e uma linha reta é 4/3 multiplicado pela área de um [[triângulo]] com a mesma base e a mesma altura. Ele alcança este resultado calculando o valor de uma série geométrica de infinitos termos com a [[razão]] {{frac|1|4}}.

* ''[[Stomachion]]''
:Este é um [[quebra-cabeças de corte e montagem]] similar a um [[tangram]], e o tratado descrevendo-o foi encontrado em forma mais completa no [[Palimpsesto de Arquimedes]]. Arquimedes calculou as áreas de 14 peças que podiam ser reunidas para formar um quadrado. Uma pesquisa publicada em 2003 por Reviel Netz da [[Universidade de Stanford]], argumentou que Arquimedes estava tentando determinar de quantas maneiras as peças podiam ser reunidas na forma de um quadrado. Netz calculou que as peças podiam formar uma quadrado de 17.152 maneiras.<ref>{{citar web|título = In Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment|autor= Kolata, Gina| editora =[[The New York Times]] |date = December 14, 2003| url = http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D00E6DD133CF937A25751C1A9659C8B63&sec=&spon=&pagewanted=all|acessodata=2007-07-23}}</ref> O número de disposições é reduzido a 536 quando se exclui as soluções que são equivalentes por rotação e reflexão.<ref>{{citar web|título = The Loculus of Archimedes, Solved|autor= Ed Pegg Jr.| editora =[[Mathematical Association of America]] |date = November 17, 2003| url = http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html|acessodata=2008-05-18}}</ref> O quebra-cabeças representa um exemplo de problema de [[combinatória]] antigo.
:A origem do nome do puzzle não é clara, e foi sugerido que provém da palavra da [[língua grega antiga]] para a garganta ou esôfago, stómakhos ({{politônico|στόμαχος}}).<ref>{{citar web |nome=Chris |sobrenome=Rorres|url = http://math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/intro.html|título = Archimedes' Stomachion| editora = Courant Institute of Mathematical Sciences|acessodata = 2007-09-14}}</ref> [[Ausônio]] refere-se ao puzzle como ''Ostomachion'', uma palavra grega composta formada pelas raízes de {{politônico|ὀστέον}} (''osteon'', osso) e {{politônico|μάχη}} (machē – luta). O puzzle também é conhecido como ''Loculus de Arquimedes'' ou como ''Caixa de Arquimedes.<ref>{{citar web |url = http://www.archimedes-lab.org/latin.html#archimede| título = Graeco Roman Puzzles| editora =Gianni A. Sarcone and Marie J. Waeber|acessodata = 2008-05-09}}</ref>
* ''[[O Problema Bovino]]''
:Esta obra foi descoberta em 1773 por [[Gotthold Ephraim Lessing]] em um manuscrito grego consistido de um poema de 44 linhas, na [[Biblioteca Herzog August]], na [[Alemanha]]. É destinado a Erastótenes e aos matemáticos de Alexandria. Arquimedes desafia-os a contar o número de bovinos no rebanho do Sol resolvendo uma quantidade de [[Equação diofantina|equações diofantinas]] simultâneas. Há uma versão mais difícil do problema em que algumas das respostas têm que ser [[Número quadrado|números quadrados]]. Esta versão do problema foi resolvida pela primeira vez por A. Amthor<ref>Krumbiegel, B. and Amthor, A. ''Das Problema Bovinum des Archimedes'', Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik und Physik 25 (1880) pp. 121–136, 153–171.</ref> em 1880, e a resposta é um número bastante grande, aproximadamente 7,760271{{e|206544}}.<ref>{{citar web |nome=Keith G |sobrenome=Calkins|url = http://www.andrews.edu/~calkins/profess/cattle.htm|título = Archimedes' Problema Bovinum| editora = [[Andrews University]]|acessodata = 2007-09-14}}</ref>
* ''[[O Contador de Areia]]''
:Neste tratado, Arquimedes calcula o número de grãos de areia que caberiam no universo. Este livro menciona a teoria [[Heliocentrismo|heliocêntrica]] do [[Sistema Solar]] proposta por [[Aristarco de Samos]],<ref>Pekka Teerikorpi, Mauri Valtonen, K. Lehto, Harry Lehto, Gene Byrd, Arthur Chernin. [http://books.google.com/books?id=sNmtKZnUg-sC&pg=PA33 The Evolving Universe and the Origin of Life: The Search for Our Cosmic Roots], p. 33–34.</ref> como também ideias contemporâneas sobre o tamanho da Terra e a distância entre vários corpos celestes. Usando um sistema de números baseado em potências de [[miríade]], Arquimedes conclui que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo é 8{{e|63}} (em notação moderna). A introdução afirma que o pai de Arquimedes foi um astrônomo chamado Fídias. ''O Contador de Areia'' ou ''Psammites'' é a única obra sobrevivente de Arquimedes em que ele discute suas ideias sobre astronomia.<ref>{{citar web|título =English translation of ''The Sand Reckoner'' |editora = [[University of Waterloo]]| url = http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/reckoner.shtml|acessodata=2007-07-23}}</ref>
* ''[[O Método dos Teoremas Mecânicos]]''
:Este tratado, que se considerava perdido, foi reencontrado graças a descoberta do [[Palimpsesto de Arquimedes]] em 1906. Nesta obra, Arquimedes emprega o [[cálculo infinitesimal]], e mostra como o método de fracionar uma figura em um número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para calcular sua área e volume. Arquimedes talvez tenha considerado que este método carecia de suficiente rigor formal, pelo que utilizou também o [[método da exaustão]] para chegar aos mesmos resultados. Da mesma forma que ''O Problema Bovino'', ''O Método dos Teoremas Mecânicos'' foi escrito em forma de carta dirigida a Eratóstenes de Alexandria.
:Conforme [[Carl Boyer]]: "Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão primitiva do cálculo integral, que, de alguma maneira, é muito semelhante, quanto ao espírito, ao cálculo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes expôs seu ”método da alavanca” para descobrir fórmulas de áreas e volumes. Mas, quando publicava provas para essas fórmulas, ele utilizava o método de exaustão para se ajustar aos padrões de rigor da época."<ref>Carl Boyer. Cálculo - Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula, pg. 57.</ref>

=== Obras apócrifas ===
O ''[[Livro de Lemas]]'' ou ''Liber Assumptorum'' é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos. A cópia mais antiga conhecida do texto está escrita em [[Língua árabe|árabe]]. Os estudiosos [[Thomas Little Heath]] e [[Marshall Clagett]] argumentaram que ele não pode ter sido escrito por Arquimedes na sua forma atual, uma vez que ele cita Arquimedes, o que sugere que foi modificado por outro autor. Talvez o ''Lemas'' seja baseado em um uma obra mais antiga, agora perdida, escrita por Arquimedes.<ref>{{citar web|título = Archimedes' Book of Lemmas| editora = [[cut-the-knot]]| url = http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml|acessodata= 2007-08-07}}</ref>

Também já foi afirmado que Arquimedes conhecia a [[fórmula de Heron]] usada para calcular a área de um triângulo sabendo-se as medidas de seus lados.{{Ref_label|C|c|none}} No entanto, a primeira referência confiável para a fórmula é dada por [[Heron de Alexandria]] no [[século I]] d.C.<ref>{{citar web|título = Heron of Alexandria |autor=O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.|editora = [[University of St Andrews]]| url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Heron.html|mês= April|ano= 1999|acessodata= 2010-02-17}}</ref>

== O Palimpsesto de Arquimedes ==
{{principal|Palimpsesto de Arquimedes}}
[[Ficheiro:Stomachion.JPG|thumb|direita|O ''[[Stomachion]]'' é um [[quebra-cabeças]] geométrico encontrado no [[Palimpsesto de Arquimedes]].]]

O Palimpsesto de Arquimedes é uma das principais fontes a partir das quais se conhece a obra de Arquimedes. Em [[1906]], o professor [[Dinamarca|dinamarquês]] [[Johan Ludvig Heiberg (historiador)|Johan Ludvig Heiberg]] visitou [[Constantinopla]] e examinou um pergaminho de pele de cabra de 174 páginas com orações escritas no [[século XIII]] d.C. Ele descobriu que se tratava de um [[palimpsesto]], um documento com texto que tinha sido escrito sobre um trabalho anterior apagado. Os palimpsestos eram criados pela raspagem da tinta de trabalhos existentes para reutilizar o material no qual ela estava impressa, o que era uma prática comum na [[Idade Média]] pois o [[papel velino]] era caro. As obras anteriores do palimpsesto foram identificadas por estudiosos como cópias do século X d.C. de tratados de Arquimedes previamente desconhecidos.<ref>{{citar web|título = Reading Between the Lines|autor= Miller, Mary K.| editora= [[Smithsonian (magazine)|Smithsonian Magazine]]| mês= March|ano= 2007| url= http://www.smithsonianmag.com/science-nature/archimedes.html| acessodata=2008-01-24}}</ref> O pergaminho passou centenas de anos na biblioteca de um monastério em Constantinopla antes de ser vendido a um colecionador na [[década de 1920]]. Em 29 de outubro de 1998 ele foi vendido em um leilão para um comprador anônimo por dois milhões de dólares na casa de leilões [[Christie's]], em [[Nova Iorque]].<ref>{{citar web|título = Rare work by Archimedes sells for $2 million|editora = [[CNN]]|date = October 29, 1998| url = http://edition.cnn.com/books/news/9810/29/archimedes/|acessodata=2008-01-15| archiveurl = http://web.archive.org/web/20080516000109/http://edition.cnn.com/books/news/9810/29/archimedes/| archivedate = May 16, 2008}}</ref> O palimpsesto contém sete tratados, incluindo a única cópia sobrevivente de ''Sobre os Corpos Flutuantes'' no original grego. É também a única fonte de ''O Método dos Teoremas Mecânicos'', a que se referiu [[Téon Suidas]] e que pensava-se que tinha sido perdido para sempre. ''Stomachion'' também foi descoberto no palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeças do que a que encontrava-se em textos anteriores. 
O palimpsesto está agora guardado no [[Museu de Arte Walters]] em [[Baltimore]], [[Estados Unidos]], onde foi submetido a uma série de testes modernos incluindo o uso de luz [[ultravioleta]] e [[raios X]] para ler o texto sobrescrito.<ref>{{citar web|título = X-rays reveal Archimedes' secrets|editora = BBC News|date = August 2, 2006| url = http://news.bbc.co.uk/1/hi/sci/tech/5235894.stm|acessodata=2007-07-23}}</ref>

Os tratados contidos no Palimpsesto de Arquimedes são: ''[[Sobre o Equilíbrio dos Planos]], [[Sobre as Espirais]], [[Sobre as Medidas do Círculo]], [[Sobre a Esfera e o Cilindro]], [[Sobre os Corpos Flutuantes]], [[O Método dos Teoremas Mecânicos]]'' e ''[[Stomachion]]''.

== Ver também ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Arbelos]]
* [[Axioma de Arquimedes]]
* [[Número de Arquimedes]]
* [[Paradoxo de Arquimedes]]
* [[Princípio de Arquimedes]] da flutuabilidade
* [[Parafuso de Arquimedes]]
* [[Sólido de Arquimedes]]
* [[Círculos de Arquimedes]]
* [[O Método dos Teoremas Mecânicos|Utilização de infinitesimais por Arquimedes]]
* [[Arquitas]]
* [[Diocles]]
* [[Métodos para calcular raízes quadradas]]
* [[Retificação da circunferência]]
* [[Pseudo-Arquimedes]]
* [[Salinon]]
* [[Canhão a vapor]]
* [[Siracusia]]
* [[Vitrúvio]]
* [[Zhang Heng]]
* [[Notação científica]]
</div>

== Notas e referências ==
=== Notas ===
'''a.''' {{Note_label|A|a|none}}No prefácio de ''Sobre as Espirais'' destinado a Dositeu de Pelúsio, Arquimedes diz que "muitos anos se passaram desde a morte de Conon." [[Conon de Samos]] viveu {{nowrap|''c.'' 280–220 a.C.}}, o que sugere que Arquimedes talvez fosse um homem mais velho ao escrever algumas das suas obras.

'''b.''' {{Note_label|B|b|none}} Os tratados de Arquimedes que conhecemos apenas através de citações em obras de outrem são: ''[[Sobre a Construção de Esferas]]'' e uma obra sobre [[poliedro]]s mencionada por [[Pappus de Alexandria]]; ''Catoptrica'', uma obra sobre [[ótica]] mencionada por [[Téon de Alexandria]]; ''Princípios'', endereçada a Zeuxipo e que explica o sistema numérico utilizado em ''[[O Contador de Areia]]''; ''Sobre Balanças e Alavancas''; ''Sobre Centros de Gravidade''; ''Sobre o Calendário''. Das obras sobreviventes de Arquimedes, [[T. L. Heath]] sugere a seguinte sugestão sobre a ordem em que foram escritas: ''Sobre o Equilíbrio dos Planos - vol I'', ''A Quadratura da Parábola'', ''Sobre o Equilíbrio dos Planos - vol II'', ''Sobre a Esfera e o Cilindro - volumes I e II'', ''Sobre as Espirais'', ''Sobre Conóides e Esferóides'', ''Sobre os Corpos Flutuantes - volumes I e II'', ''Sobre as Medidas do Círculo'' e ''O Contador de Areia''.

'''c.''' {{Note_label|C|c|none}} [[Carl Benjamin Boyer|Boyer, Carl Benjamin]] ''A History of Mathematics'' (1991) ISBN 0-471-54397-7 - ''"Acadêmicos árabes informam que uma conhecida fórmula de área de um triângulo em termos de seus três lados, geralmente conhecida como fórmula de Herão - ''k''&nbsp;=&nbsp;√(''s''(''s''&nbsp;−&nbsp;''a'')(''s''&nbsp;−&nbsp;''b'')(''s''&nbsp;−&nbsp;''c'')), onde ''s'' é o semiperímetro - era conhecida por Arquimedes diversos séculos antes de Herão ter nascido. Eles também atribuíram a Arquimedes o 'teorema da corda quebrada'&nbsp;… Os árabes relatam que Arquimedes teria dado diversas provas para este teorema."''

{{Referências|col=2}}

== Bibliografia ==
{{Wikisource1911Enc|Archimedes}}
* {{citar livro |sobrenome=[[Carl Benjamin Boyer|Boyer, Carl Benjamin]]|título=A History of Mathematics|ano=1991|editora= Wiley|location= New York|isbn=0-471-54397-7}}
* {{citar livro |sobrenome=[[Eduard Jan Dijksterhuis|Dijksterhuis, E.J.]] |título=Archimedes|ano=1987 |editora= Princeton University Press, Princeton|isbn=0-691-08421-1}} Republished translation of the 1938 study of Archimedes and his works by an historian of science.
* {{citar livro |sobrenome=Gow |nome=Mary |título=Archimedes: Mathematical Genius of the Ancient World|ano=2005|editora=Enslow editoras, Inc |isbn=0-7660-2502-0}}
* {{citar livro |sobrenome=Hasan |nome=Heather |título=Archimedes: The Father of Mathematics|ano= 2005|editora=Rosen Central |isbn=978-1-4042-0774-5}}
* {{citar livro |autor=[[T. L. Heath|Heath, T.L.]]|título=Works of Archimedes|ano=1897 |editora=Dover Publications |isbn=0-486-42084-1}} Complete works of Archimedes in English.
* {{citar livro |sobrenome=Netz, Reviel and Noel, William |título=The Archimedes Codex|ano=2007|editora=Orion Publishing Group|isbn= 0-297-64547-1}}
* {{citar livro |sobrenome=[[Clifford A. Pickover|Pickover, Clifford A.]]|título =Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them|ano=2008 |editora= [[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-533611-5}}
* {{citar livro |sobrenome=Simms, Dennis L. |título=Archimedes the Engineer|ano=1995 |editora= Continuum International Publishing Group Ltd |isbn=0-720-12284-8}}
* {{citar livro |sobrenome=Stein, Sherman |título=Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?|ano=1999 |editora= Mathematical Association of America|isbn=0-88385-718-9}}

== Obras de Arquimedes online ==
* Text in Classical Greek: [http://www.wilbourhall.org PDF scans of Heiberg's edition of the Works of Archimedes, now in the public domain]
* In English translation: [http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp ''The Works of Archimedes''], trans. T.L. Heath; supplemented by [http://books.google.com/books?id=suYGAAAAYAAJ ''The Method of Mechanical Theorems''], trans. L.G. Robinson

==Ligações externas==
{{correlatos
|wikiquote=Arquimedes
|commonscat=Archimedes
}}
*{{link|en|2=http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html|3=O pi de Arquimedes}}
*{{link|en|2=http://www.archimedespalimpsest.org/index.html|3=Manuscritos de Arquimedes}}
*[http://www.giovannipastore.it/ARCHIMEDEs.htm O PLANETÁRIO DE ARQUIMEDES REENCONTRADO]
*[http://www.archimedespalimpsest.org/ The Archimedes Palimpsest project at The Walters Art Museum in Baltimore, Maryland]
*[http://mathdb.org/articles/archimedes/e_archimedes.htm The Mathematical Achievements and Methodologies of Archimedes]
*[http://www.mathpages.com/home/kmath038.htm Article examining how Archimedes may have calculated the square root of 3] at MathPages
*[http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm Archimedes On Spheres and Cylinders] at MathPages
*[http://www.cs.drexel.edu/~crorres/bbc_archive/mirrors_sailors_sakas.jpg Photograph of the Sakkas experiment in 1973]
*[http://web.mit.edu/2.009/www/experiments/steamCannon/ArchimedesSteamCannon.html Testing the Archimedes steam cannon]
*[http://www.stampsbook.org/subject/Archimedes.html Stamps of Archimedes]
*[http://www.italymag.co.uk/italy-featured/history/genius-archimedes-syracuse The Genius of Archimedes of Syracuse, Cheryl Mackay]

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