Mostrar código-fonte de Átomo hidrogenoide

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Os '''átomos hidrogenóides''' são [[átomo]]s formados por um núcleo e um só [[elétron]]. Se chamam assim porque seu comportamento químico é similar ao do [[hidrogênio]]. É hidrogenóide dentro desta definição quaisquer dos [[isótopo]]s do hidrogênio. Um caso típico de átomo hidrogenóide é também o de um átomo de qualquer elemento que se tenha ionizado até perder todos os elétrons menos um (um exemplo claro seria o [[hélio]] após perder um de seus elétrons). Existem além disso multitude de [[átomo exótico|átomos exóticos]] que também têm um comportamento hidrogenóide por motivos diversos.

== Introdução ==
Como no caso do átomo de hidrogênio os átomos hidrogenóides são um dos poucos problemas [[mecânica quântica|mecânico quânticos]] que se podem resolver de forma exata. Os átomos ou [[íon]]s cuja [[camada de valência]] está constituída por um único elétron (por exemplo nos [[metais alcalinos]]) têm propriedades [[espectroscopia|espectroscópicas]] e de [[ligação química|ligação]] semelhantes às dos átomos hidrogenóides.

A [[configuração eletrônica]] mais simples possível é a de um único elétron. A resolução analítica do átomo de hidrogênio neutro que possui a mesma quantidade de elétrons, quer dizer um, é em essência a mesma para os átomos hidrogenóides. Assim pois a forma dos orbitais e os níveis de energia serão semelhantes.

Pelo contrário, para átomos com dois ou mais elétrons a resolução das equações só se pode facer mediante métodos aproximativos. Os orbitais de átomos multieletrônicos são qualitativamente similares aos orbitais do hidrogênio e, nos modelos atômicos mais simples, considera-se que têm a mesma forma. Mas se pretende-se realizar um cálculo rigoroso e preciso se terá que recorrer a aproximações numéricas.

Os orbitais dos átomos hidrogenóides se identificam mediante três [[número quântico|números quânticos]]: [[Número quântico principal|''n'']], [[Número quântico orbital|''l'']], e [[Número quântico magnético|''m<sub>l</sub>'']]. As regras que restrisgem os valores dos números quânticos e suas energias (ver mais abaixo) explicam a configuração eletrônica dos átomos e a conformação da [[tabela periódica]].

Os estados estacionários ([[estado quântico|estados quânticos]]) dos átomos hidrogenóides são seus orbitais atômicos. Apesar de tudo, em geral, o comportamento de um elétron não está plenamente descrito por um orbital simples. Os estados eletrônicos se representan melhor como "mesclas" dependentes do tempo ([[combinação linear|combinações lineares]]) de vários orbitais. Ver [[Orbitais moleculares por combinação linear de orbitais atômicos]].

O número quântico ''n'' apareceu por primeira vez no [[modelo atômico de Bohr]]. Determina, entre outras coisas, a distância dos elétrons com respeito ao núcleo. Todos os elétrons com o mesmo valor de ''n'' formam um [[nível eletrônico|nível]] ou camada. Os elétrons com idêntico número ''n'' mas diferente ''l'' compõe os chamados [[subnível eletrônico|subníveis]] ou subcamadas. O [[modelo atômico de Sommerfeld]] que incorporava um refinamento [[teoria da relatividade especial|relativista]] do elétron provou que a energia dependia também dos outros números quânticos tal como se aprecia na solução relativista mediante a [[equação de Dirac]].

== Caracterização matemática ==
A caracterização dos átomos hidrogenóides se realiza no marco da [[mecânica quântica]], já que devido ao tamanho desses sistemas físicos nem a [[mecânica clássica]] que descreve adequadamente o movimento de partículas macroscópicas a velocidades moderadas, nem o [[eletromagnetismo|eletromagnetismo clássico]] são aplicáveis a escalas tão pequenas.
Dentro da mecânica quântica uma primeira aproximação se obtém mediante a [[equação de Schrödinger]] que prediz qualitativamente todas as características importantes de um estado de equilíbrio de um átomo hidrogenóide e dá valores quantitativos muito aproximados para quase todas as magnitudes. Um refinamento deste tratatamento é a análise relativista mediante a equação de Dirac que prediz pequenas correções às soluções obtidas da análise não-relativista mediante a equação de Schrödinger.

=== Potencial eletrostático ===
{{em tradução}}

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Los orbitales atómicos de los átomos hidrogenoides son las soluciones de la [[ecuación de Schrödinger]] para el caso de un [[Partícula en un potencial de simetría esférica|potencial de simetría esférica]]. En este caso, el término de [[potencial]] es el potencial de la [[ley de Coulomb]]:

:<math>V = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math>

donde
* ε<sub>0</sub> es la [[permitividad]] del vacío,
* ''Z'' es el [[número atómico]],
* ''e'' es la [[carga elemental]],
* ''r'' es la distancia entre el [[electrón]] y el [[núcleo atómico|núcleo]].

=== Función de onda no relativista ===
Debido a que el potencial tiene [[simetría esférica]] es posible separar el movimiento del [[centro de masas]] del movimiento relativo entre electrón y núcleo. Así, el movimiento relativo se puede tratar como el movimiento de una partícula cuya masa es la [[masa reducida]], <math>\mu</math>, del sistema. De esta manera, la función de onda es una función de sólo tres variables espaciales. Tras eliminar la dependencia temporal, la ecuación de Schrödinger es una [[ecuación en derivadas parciales]] de tres variables.Debido a que el potencial tiene [[simetría esférica]] es conveniente utilizar las [[coordenadas esféricas]] para obtener las soluciones, aplicando para ello el método de [[separación de variables]]. De esta forma cualquier [[vector propio|autofunción]] ψ puede escribirse como un producto de tres funciones que suelen escribirse de la forma siguiente:

:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R(r)f(\theta)g(\phi) \,\!</math>

donde θ representa el ángulo polar ([[colatitud]]) y φ el ángulo [[azimut]]al.

Esta '''[[función de onda]]''' deberá estar además [[normalización|normalizada]] a 1 por lo que se añadirá una constante de normalización. El resto de la ecuación se separa entre la parte radial representada por la función radial que incorporará la constante de normalización y la angular representada por los [[armónicos esféricos]]. Todas estas funciones serán dependientes de los tres números cuánticos antes citados, ''n, l y m.'' Así, se tiene lo siguiente:

:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi) \,\!</math>

Los '''números cuánticos''' no son independientes unos de otros por lo que el número de combinaciones posibles de estas funciones está limitado. Las restricciones son las siguientes:

:<math>n = 1, 2, 3, ... \,\!</math>
:<math>l = 0, 1, 2, ..., n - 1 \,\!</math>
:<math>m = -l, -(l-1), ... , 0 , ..., l-1 , l \,\!</math>

La '''función radial''' ya normalizada se representa como:

:<math> R_{nl}(r) = - \left [\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} \right ]^{1/2} \left ( \frac{2Z}{na_\mu} \right )^{l+3/2}r^{l}e^{-\frac{Zr}{na_\mu}}L_{n+l}^{2l+1} \left(\frac{2Zr}{na_\mu} \right )</math>

Siendo <math>L_{n+l}^{2l+1} \left(\frac{2Zr}{na_\mu} \right )</math> las [[Polinomios de Laguerre|funciones asociadas de Laguerre]] y <math>a_\mu = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{\mu e^2}}</math>. Nótese que <math>a_\mu\,</math> es aproximadamente igual al [[radio de Bohr]], <math>a_0\,</math>. Si la masa del núcleo es infinita entonces <math>\mu=m_e\,</math> y <math>a_\mu=a_0\,</math>.

Sin embargo, es más habitual encontrar las autonfunciones expresadas en función de la '''función radial reducida''': <math> P_{nl}=rR_{nl} \,\!</math>

Así pues la '''función de onda''' queda como sigue:
:<math>\psi_{nlm}(\theta,\phi,r)=\frac{P_{nl}(r)}{r}Y_{l,m}(\theta, \phi )= - \left [\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} \right ]^{1/2} \left ( \frac{2Z}{na_\mu} \right )^{l+3/2}r^{l+1}e^{-\frac{Zr}{na_\mu}}L_{n+l}^{2l+1} \left(\frac{2Zr}{na_\mu} \right )Y_{l,m}(\theta, \phi )</math>

=== Niveles de energía no relativista ===
En el caso de los átomos hidrogenoides al no haber interacciones entre electrones, pues solo hay uno, la energía de los [[orbital atómico|orbitales atómicos]] puede ser calculada analíticamente de forma exacta. Los valores de energía permitidos son

<center>
<math> E_{n} = -\left(\frac{\mu e^4}{(4 \pi \epsilon_0)^2\hbar^2}\right)\frac{Z^2}{2n^2}</math>.
</center>

Habitualmente se considera <math>\mu=m_e\,</math>, por lo que los valores de energía se expresan como:<br />
<center><math>E_n=-\frac{1}{2}\frac{Z^2}{n^2}E_h</math></center>

Donde <math>E_h\,</math> es la [[unidades atómicas|unidad atómica]] de energía o [[Hartree]]. Como se puede ver, la fórmula solo depende del [[número cuántico principal]]. Esto confiere a los diferentes [[nivel energético|estados de energía]] lo que se denomina [[degeneración accidental]]. Por ejemplo para n=2 existen cuatro estados posibles, 200, 210, 21+1 y 21-1, con la misma energía para <math>l=0</math> que para <math>l=1</math>. Pero dado que la función de energía solo depende de ''n'' y no de ''l'', todos ellos tendrán, en principio, la misma energía (la degeneración en ''m'' es consecuencia de la invariancia bajo rotaciones de todos los potenciales centrales). Esta aproximación en la medida de los niveles de energía recibe el nombre de '''[[estructura gruesa]]'''. Sin embargo, el hecho de que la [[degeneración]] sea accidental es debido a que no aparece para otros potenciales centrales, sino justo para un potencial que decaiga exactamente como el de [[Coulomb]], o sea, exactamente con el inverso de la distancia. Clásicamente esta dependencia con la distancia en la energía potencial hace que se pueda construir una cantidad vectorial (el [[vector de Runge-Lenz]]) que permanece constante en el movimiento. Cuánticamente, las componentes del operador vectorial que representan al observable de Runge-Lenz no conmutan con el momento angular orbital al cuadrado, lo cual garantiza que tengamos estados linealmente independientes con el mismo autovalor de la energía y diferente autovalor del momento angular orbital al cuadrado: o sea, lo que hemos llamado degeneración accidental. En realidad, existen tres correcciones distintas que hacen variar sensiblemente el valor de la energía de dichos niveles rompiendo esa degeneración. Es la denominada '''[[estructura fina]]''' del átomo de [[hidrógeno]] o [[hidrogenoide]]. En los átomos multielectrónicos en la aproximación de [[campo central]], el potencial "apantallado" que sienten los electrones y que tiene en cuenta en parte la repulsión interelectrónica ya no es Coulomb (no decae con el inverso de la distancia al núcleo) y no hay degeneración accidental.

=== Función de onda relativista ===
La [[ecuación de Schrödinger]] aplicada a electrones es sólo una aproximación no relativista a la [[ecuación de Dirac]] que da cuenta tanto del efecto del [[spin]] del [[electrón]]. En el tratamiendo de Dirac de los electrones de hecho la función de onda debe substituirse por un [[espinor]] de cuatro componentes:
{{ecuación|
<math> \psi_{n,jm}^{(\pm)} (r,\theta, \phi) =
\begin{Bmatrix} \cfrac{iG_{n,lj}(r)}{r} \boldsymbol{\varphi}_{jm}^{(\pm)} \\
                \cfrac{F_{n,lj}(r)}{r} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat\mathbf{r}) \boldsymbol{\varphi}_{jm}^{(\pm)} \end{Bmatrix}</math>
||left}}
Donde las funciones ''F'' y ''G'' se expresan en términos de funciones hipergeométricas:
{{ecuación|
<math>F_{n,lj}(r) = \left(1+\frac{E}{mc^2}\right)e^{-\frac{\rho}{2}}(F_1(\rho)+F_2(\rho)),
\qquad G_{n,lj}(r) = \left(1-\frac{E}{mc^2}\right)e^{-\frac{\rho}{2}}(F_1(\rho)-F_2(\rho)),</math>
||left}}
A modo de comparación con el caso no relativista se dan a continuación la forma explícita del espinor de funciones de onda del estado fundamental:
{{ecuación|
<math> \psi_{n=1,j=\frac{1}{2},m=+\frac{1}{2}} (r,\theta, \phi) =
\frac{(2mZ\alpha)^{3/2}}{(4\pi)^{1/2}}\left( \frac{1+\gamma}{2\Gamma(1+2\gamma)} \right)^{1/2} (2mZ\alpha r)^{\gamma-1}e^{-mZ\alpha r}
\begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\cos \theta \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\sin \theta e^{i\varphi} \end{Bmatrix}</math>
:<math> \psi_{n=1,j=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{2}} (r,\theta, \phi) =
\frac{(2mZ\alpha)^{3/2}}{(4\pi)^{1/2}}\left( \frac{1+\gamma}{2\Gamma(1+2\gamma)} \right)^{1/2} (2mZ\alpha r)^{\gamma-1}e^{-mZ\alpha r}
\begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\sin \theta e^{-i\varphi} \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\cos \theta \end{Bmatrix}</math>
||left}}
El límite no relativista se obtiene haciendo tender <math>\gamma := \sqrt{1-Z^2\alpha^2} \to 1</math>, es decir, haciendo tender la constante de estructura fina a cero.

=== Niveles de energía relativista ===
El tratamiento de los electrones mediante la ecuación de Dirac sólo supone pequeñas correcciones a los niveles dados por la ecuación de Schrödinger. Tal vez el efecto más interesante es la desaparición de la degeneración de los niveles, por el efecto de la [[interacción espín-órbita]] consistente en que los electrones con valores diferentes del tercer [[número cuántico]] ''m'' (número cuántico magnético) tienen diferentes energía debido al efecto sobre ellos del [[momento magnético]] del núcleo atómico. De hecho los niveles energéticos vienen dados por:<ref>{{Citar web |url=http://zopyros.ccqc.uga.edu/lec_top/rltvt/node5.html#SECTION00023000000000000000 |título=Hydrogenic Solutions of Dirac's Equation |língua= |autor= |obra= |data= |acessodata=}}</ref>
{{Ecuación|<math>E_n = m_ec^2\sqrt{1+\left( \frac{Z\alpha}{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha)^2}} \right)^2}</math>||left}}
Donde:
:<math>m_e\;</math>, es la masa del [[electrón]].
:<math>c\; \alpha</math>, son la [[velocidad de la luz]] y la [[constante de estructura fina]].
:<math>Z, n, m\;</math>, son el número de protones del núcleo, el número cuántico principal y el número cuántico magnético.
Si se prescinde de la energía asociada a la masa en reposo del electrón estos niveles pueden resultan  cercanos a los predichos por la ecuación de Schrödinger, especialmente en el caso ''m'' = 0:
{{Ecuación|<math>E_n -m_ec^2 \approx \frac{m_e}{2}\left( \frac{Z\alpha}{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha)^2}} \right)^2</math>||left}}

{{Referências|Notas e referências}}

=== Bibliografía ===
-->

== {{Ver também}} ==
* [[Orbital atômico]]
* [[Átomo exótico]]

{{Portal3|Física}}

{{DEFAULTSORT:Atomo Hidrogenoide}}
[[Categoria:Física atômica e molecular]]
[[Categoria:Mecânica quântica]]